Los naturales no son superiormente acotados

de

El conjunto de los naturales (\mathbb{N}) no está acotado superiormente.

Supongamos que si. Entonces, como 1 \in \mathbb{N} \neq \emptyset podemos aplicar el axioma del supremo, es decir, \exists c \in \mathbb{\mathbb{R}} tal que c=\sup{\mathbb{N}}. En tal caso c-1 no es cota superior (si lo fuera, c-1 sería cota superior, menor a la menor cota superior de \mathbb{N}, un absurdo), luego existe n\in\mathbb{N} tal que c-1<n, de donde se concluye c<n+1 \in \mathbb{N}. Es decir, c no es cota superior de \mathbb{N}, lo que contradice nuestra hipótesis.

Por lo tanto \mathbb{N} no está acotado superiormente.

2 pensamientos en “Los naturales no son superiormente acotados”

  1. Quedaría mejor usar el buen orden de los naturales, o que son el menor conjunto inductivo que contiene al 1 (o al 0, depende como quieras); si usas supremo entonces lo que haces es verlo dentro de los Reales, naturalmente (si no lo que sigue no vale, pero supremo en los naturales es desquisiado), y al aplicar supremo no puedes garantizar que ese supremo sea un natural., y te queda el argumento feo ese que usa que sumar lo mismo a ambos lados preserva el orden, cosa que tiene relacion con el orden en los Reales (es decir con tu supremo) pero que en el fondo te desia que es una propiedad de los naturales intrinseca.

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