Sobre la convergencia y convergencia absoluta

de

Demuestre que si \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=L, entonces \lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|=|L|. ¿Es cierto el recíproco?.

Por definición de límite se tiene que para cada \varepsilon >0 existe un natural N tal que para n>N se satisface |a_{n}-L|< \varepsilon. Por otro lado, por desigualdad triangular, se tiene que para cualquier x,y \in \mathbb{R}, se cumple la desigualdad

||x|-|y|| \leq |x-y|

Por lo que ||a_{n}|-|L|| \leq |a_{n}-L| < \varepsilon. Esto prueba que para todo \varepsilon > 0 existe N \in \mathbb{N} tal que

||a_{n}|-|L||< \varepsilon

para n>N. Esto se traduce en \lim_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|=|L|

El recíproco es falso, basta considerar la sucesión que vale 1 para los pares y -1 para los impares. La sucesión no converge, pero su valor absoluto es constante e igual a 1, por lo que su límite es 1.

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