Una Propiedad Exponencial

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua tal que

$f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$

entonces $f\equiv 0$ o $f(x)=a^{x}$ para algún $a\in\mathbb{R}^{+}$ .

En efecto, lo primero que debemos notar es que o bien $f(0)=0$ o bien $f(0)=1$ , para mostrarlo es suficiente escribir $f(0)=f(0+0)=f(0)^{2}$ lo que implica el resultado. Si $f(0)=0$ entonces $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ . Si no, entonces $f(0)=1$ y $f(1)=f(\frac{1}{n}\cdot n)=f(\frac{1}{n})^{n}$ , lo que implica que $f(1)>0$ pues para $n$ suficientemente grande, $f(1/n)>0$ por continuidad en el origen. Es fácil ver también que lo último implica que $f(x)>0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ .

Observemos ahora que en cada conjunto compacto (cerrado y acotado) la función es Riemann integrable por continuidad, por lo tanto

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{kx}{n}\right)\frac{x}{n}}$

Por otro lado, para todo $n$ natural y $y\in\mathbb{R}$ , $f(ny)=f(y)^{n}$ y $f(y/n)=f(y)^{1/n}$ , de donde

$\displaystyle{f\left(\frac{kx}{n}\right)=f(x)^{\frac{k}{n}}}$

Lo que implica

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x)^{\frac{k}{n}}}$

y luego la suma geométrica nos entrega

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\frac{f(x)-1}{f(x)^{1/n}-1}}$ .

Recordemos ahora que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}n(y^{1/n}-1)}$ para cada $y\in\mathbb{R}^{+}$ , entonces

$\int_{0}^{x}f(t)dt=\dfrac{x(f(x)-1)}{\log{f(x)}}$ .

En el caso particular de $x=n$ obtenemos $f(n)=f(1)^{n}$ y por lo tanto

$\int_{0}^{n}f(t)dt=\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}$ .

Por otro lado un simple cambio de variables implica

$\int_{x}^{x+n}f(t)dt=\int_{0}^{n}f(t+x)dt=f(x)\int_{0}^{n}f(t)dt$

por lo que si derivamos respecto a $x$ , nos queda

$f(x+n)-f(x)=\frac{df}{dx}(x)\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}$ ,

pero $f(x+n)-f(x)=f(x)(f(n)-1)$ , entonces

$f(x)\log{f(1)}=\frac{df}{dx}(x)$ .

Basta considerar $a=f(1)$ y resolver la ecuación diferencial para concluir que $f(x)=a^{x}$ .

Otra forma de resolver el problema es una perspectiva de la densidad. En efecto, si dos funciones $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continuas coinciden en un conjunto denso, entonces las funciones coinciden en toda la recta real. Para ello basta considerar un punto arbitrario y estudiar la convergencia a tal punto por sucesiones del conjunto denso, los límites deben ser iguales al evaluar en cada función. Finalmente, para cada $p,q\in\mathbb{Q}$ , con $q\neq 0$ , entonces $f(p/q)=f(1)^{p/q}$ . Es decir, para $a=f(1)$ , las funciones $f(x)$ y $g(x)=a^{x}$ coinciden sobre $\mathbb{Q}$ . Nuestra primera observación en este párrafo concluye el resultado.