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El Teorema de Oseledets

de

En teoría ergódica diferenciable uno se interesa fundamentalmente en el estudio local de un sistema dinámico a través de una linearización adecuada del sistema. Una vez que estudiamos transformaciones diferenciables definidas en variedades Riemannianas (muchas veces tales transformaciones se consideran con singularidades en conjuntos razonables), uno puede reducir el estudio del sistema usando la linearización natural que proviene de la diferencial de la transformación definida en el fibrado tangente. El teorema de Oseledets es una herramienta increiblemente potente en este ámbito, y ha permitido desarrollar una inmensa teoría como consecuencia.

En palabras sencillas, el teorema de Oseledets nos entrega información precisa de la dinámica. Particularmente nos habla de la existencia de subespacios vectoriales en «casi todo» plano tangente a la variedad, sobre los cuales la diferencial se comporta (exponencialmente a lo largo de las órbitas) de manera dilatante, contractante  o sin comportamiento exponencial (lo cual es bastante útil cuando estudiamos por ejemplo la entropía). En lenguaje puramente matemático el enunciado es el siguiente

Teorema (Oseledets). Sea f:M\rightarrow M un difeomorfismo de clase C^{1}  definido en una variedad Riemanniana M. Sea \mu una medida boreliana de probabilidad en M y supongamos que \log^{\pm}\|df\|\in\mathscr{L}^{1}(M,\mu). Entonces, para \mu– casi todo x\in M

  • Existen constantes reales \lambda_{1}(x)>...>\lambda_{r(x)}(x);
  • Existen subespacios vectoriales E_{1}(x),...,E_{r(x)}(x) de T_{x}M

tales que

T_{x}M=\bigoplus_{i=1}^{r(x)}E_{i}(x)

los espacios E_{i}(x) son estables por la diferencial, es decir 

d_{x}f(E_{i}(x))=E_{i}(f(x))

y

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\|d_{x}f^{n}(v)\|=\lambda_{i}(x) para todo v\in E_{i}(x), 1\leq i\leq r(x).

Más aún, las aplicaciones x\mapsto r(x), x\mapsto \lambda_{i}(x), x\mapsto dim(E_{i}(x)) son medibles. La propiedad de estabilidad por la diferencial implica que tales aplicaciones son también invariantes por f. En el caso particular de \mu medida ergódica, las aplicaciones son constantes \mu– casi todas partes.

 

Definicion: Los valores \{\lambda_{i}(x)\} son llamados Exponentes de Lyapunov y los espacios  \{E_{i}(x)\} son llamados Espacios Característicos.

Un ejemplo en el cual podemos encontrar concretamente los exponentes de Lyapunov y los espacios característicos son los automorphismos del toro. Aquellos estan definidos en su espacio de cubrimiento universal por una matriz invertible a valores enteros (cuya inversa satisface lo mismo). Los exponentes de Lyapunov corresponden a los logaritmos de los valores propios de la matriz, y los espacios característicos corresponden a las proyecciones sobre el toro de los espacios propios de la matriz.

Funciones continuas no diferenciables

de

1.- Consideremos la función \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}g(2^{2^n}x),

donde g(x)\begin{cases} 1+x, & x\in[-2,0]\\ 1-x, & x\in[0,2]\\ \end{cases}

, y g(x+4)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Mostraremos que f es continua y no diferenciable en todo \mathbb{R}.

En efecto. Para ver que f es continua basta notar que g lo es, y que por otra parte se tiene \displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}\Big|2^{-n}g(2^{2^n}x)\Big|=2^{-n}, con \displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}<\infty. Luego, como f es el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas, y por el M-Test de Weierstrass (http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_M_de_Weierstrass) f es continua.

Para mostrar que f no es diferenciable para todo x\in\mathbb{R} consideremos x\in\mathbb{R} arbitrario pero fijo y k\in\mathbb{N} arbitrario.  Luego, escojamos \displaystyle\triangle x=\pm 2^{-2^k} , donde el signo escogido es tal que x y x+\triangle x están en el mismo segmento lineal de \displaystyle g(2^{2^k}x).

Sea n\in\mathbb{N}, para n>k tenemos que:

\displaystyle g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x)=g(2^{2^n}x)-g(2^{2^n}x)=0, ya que g tiene periodo 4 y \displaystyle 2^{2^n}\triangle x=4q para algún q\in\mathbb{Z}.

Para n=k tenemos que :

\displaystyle |g(2^{2^k}(x+\triangle x))-g(2^{2^k}x)|=g(1+2^{2^k}x)-g(2^{2^k}x)=1.

Para n<k estimamos,

\displaystyle\sup_{n=1,..,k-1}|g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x)|\leq 2^{2^{k-1}}2^{-2^k}=2^{-2^{k-1}}

Y por lo tanto,

\displaystyle\Big|\sum_{n=1}^{k-1}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|\leq (k-1)2^{-2^{k-1}}<2^k2^{-2^{k-1}}\leq 1

Entonces,

\displaystyle\Big|\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\Big|=2^{2^k}\Big|\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|

=\displaystyle2^{2^k}\Big|\sum_{n=1}^{k}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|

\geq\displaystyle2^{2^k}\Big(1-\Big|\sum_{n=1}^{k-1}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|\Big)

\geq\displaystyle2^{2^k}(1-2^k2^{-2^{k-1}})=2^{2^{k-1}}(2^{2^{k-1}}-2^k).

Finalmente, tomando k\rightarrow\infty se tiene que f'(x)\rightarrow \infty, concluyendo así, que f es no diferenciable para todo x\in\mathbb{R}.

Principio de Inducción Matemática

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El principio de inducción matemática es una herramienta poderosa para demostrar propiedades que satisfacen los números naturales. Ésta nos dice que si «1 satisface una propiedad fija» y si «dado otro natural que la satisface, su sucesor también la satisface», entonces todo número natural debe satisfacer la misma propiedad.

Denotemos \mathcal{P} una propiedad aplicable sobre los números naturales y escribamos \mathcal{P}(n) cuando el natural n satisface la propiedad \mathcal{P}

En lenguaje matemático el principio de inducción se traduce en lo siguiente

Proposición: Si \mathcal{P}(1) y \mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1), entonces todos los números naturales satisfacen la propiedad \mathcal{P}.

Este principio para muchos llega a ser un dolor de cabeza debido a la lógica que hay por detrás, de hecho, a juicio personal considero que la mayor dificultad proviene de la implicancia \mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1).
Para usar el principio de inducción matemática se debe mostrar precisamente esa implicancia y que 1 satisface la propiedad; la última siendo una simple verificación a mano. Pero muchos que no comprenden la lógica que hay de fondo creen que para demostrar una propiedad sobre los naturales basta probar justamente que \mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1).

¿Por qué no es así?

El mejor ejemplo que se tiene en estos casos es el efecto dominó. Imaginemos que queremos botar todas las piezas de un dominó como en el siguiente video

Para ello necesitamos dos leyes fundamentales, la primera es partir botando una ficha, esa se compara con la primera hipótesis de inducción, sin este simple acto es imposible botar alguna. La segunda ley es asegurar que dado que una ficha se ha caído la siguiente también caerá. Sin esto último no podrían caerse todas las fichas del dominó una tras otra se manera consecutiva. Es decir

Para asegurar que todas las fichas de un dominó se caerán, es necesario saber que las dos leyes anteriores se satisfacen.

Cuando pensamos en el principio de inducción matemática, queremos asegurar que todas las fichas se caerán, es decir, que todos los naturales satisfagan la propiedad buscada. Naturalmente debemos pensar en un dominó infinito, los naturales lo son, pero el problema es reducido al caso finito de manera simple. Si queremos saber si un natural N satisface una propiedad, basta considerar el dominó de naturales infinito truncado hasta la ficha N y esperar que la ficha caiga. ¡SI TENEMOS LAS DOS LEYES ENTONCES SIEMPRE CAERÁ TAL FICHA!.

Ejemplo:

Dado un natural N queremos probar lo siguiente

\displaystyle{1+2+3+4+...+(N-1)+N=\sum_{i=1}^{N}i=\frac{N(N+1)}{2}}.

Hay bastantes formas de hacerlo, pero nos centraremos solo en como aplicar la inducción matemática. La propiedad aplicada al natural 1 significa que debemos probar que la suma de los primeros 1 naturales es \frac{1(1+1)}{2}=1, lo cual es trivial. La parte interesante (e insisto, la mas complicada lógicamente para muchos) es la segunda ley. Supongamos que un natural n satisface la propiedad (o equivalentemente, que sabemos que una pieza ha caído), debemos mostrar que n+1 también satisface la propiedad (debemos asegurar que la siguiente pieza de dominó caerá). Notemos entonces que

1+2+...+n+(n+1)=(1+2+...+n)+(n+1)

pero el primer paréntesis, por nuestra hipótesis, vale \frac{n(n+1)}{2}, por lo que

1+...+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)

y si simplificamos un poco las cosas nos queda

\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Hemos probado que 1+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} lo cual nos dice precisamente, si reemplazamos N por n+1 en la primera fórmula, que la propiedad se satisface para el natural n+1. Hemos probado la segunda ley.

Finalmente, lógicamente hablando y gracias al principio de inducción matemática, podemos asegurar fervientemente que todo número natural satisface esa propiedad.

Sumar los primeros 100 numeros puede ser agotador, pero ciertamente sabemos ahora que tal suma vale \frac{100\times 101}{2}=5050.

¿Por qué es útil el Principio de Inducción Matemática?

Los naturales son un conjunto infinito de elementos por lo que si queremos probar que todos los naturales satisfacen cierta propiedad, la manera inmediata es pensar en probar uno por uno, ¡pero no terminaríamos nunca!. Es por esto mismo que el principio de inducción es tan importante, es una herramienta, como muchas otras en la matemática, que nos ayuda a resolver problemas que en principio son imposibles de realizar debido al límite humano (temporal) gracias a un cambio de perspectiva. En este caso, basta botar la primera pieza, comprobar una propiedad y la teoría se encarga del resto.