Archivo de la categoría: Integrales

Una Propiedad Exponencial

de

Sea f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una función continua tal que

f(x+y)=f(x)f(y) para todos x,y\in\mathbb{R}

entonces f\equiv 0 o f(x)=a^{x} para algún a\in\mathbb{R}^{+}.

En efecto, lo primero que debemos notar es que o bien f(0)=0 o bien f(0)=1, para mostrarlo es suficiente escribir f(0)=f(0+0)=f(0)^{2} lo que implica el resultado. Si f(0)=0 entonces f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 para cada x\in\mathbb{R}. Si no, entonces f(0)=1 y f(1)=f(\frac{1}{n}\cdot n)=f(\frac{1}{n})^{n}, lo que implica que f(1)>0 pues para n suficientemente grande, f(1/n)>0 por continuidad en el origen. Es fácil ver también que lo último implica que f(x)>0 para cada x\in\mathbb{R}.

Observemos ahora que en cada conjunto compacto (cerrado y acotado) la función es Riemann integrable por continuidad, por lo tanto

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{kx}{n}\right)\frac{x}{n}}

Por otro lado, para todo n natural y y\in\mathbb{R}, f(ny)=f(y)^{n} y f(y/n)=f(y)^{1/n}, de donde

\displaystyle{f\left(\frac{kx}{n}\right)=f(x)^{\frac{k}{n}}}

Lo que implica

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x)^{\frac{k}{n}}}

y luego la suma geométrica nos entrega

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\frac{f(x)-1}{f(x)^{1/n}-1}}.

Recordemos ahora que \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}n(y^{1/n}-1)} para cada y\in\mathbb{R}^{+}, entonces

\int_{0}^{x}f(t)dt=\dfrac{x(f(x)-1)}{\log{f(x)}}.

En el caso particular de $x=n$ obtenemos $f(n)=f(1)^{n}$ y por lo tanto

\int_{0}^{n}f(t)dt=\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}.

Por otro lado un simple cambio de variables implica

\int_{x}^{x+n}f(t)dt=\int_{0}^{n}f(t+x)dt=f(x)\int_{0}^{n}f(t)dt

por lo que si derivamos respecto a x, nos queda

f(x+n)-f(x)=\frac{df}{dx}(x)\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}},

pero  f(x+n)-f(x)=f(x)(f(n)-1), entonces

f(x)\log{f(1)}=\frac{df}{dx}(x).

Basta considerar a=f(1) y resolver la ecuación diferencial para concluir que f(x)=a^{x}.

Otra forma de resolver el problema es una perspectiva de la densidad. En efecto, si dos funciones f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} continuas coinciden en un conjunto denso, entonces las funciones coinciden en toda la recta real. Para ello basta considerar un punto arbitrario y estudiar la convergencia a tal punto por sucesiones del conjunto denso, los límites deben ser iguales al evaluar en cada función. Finalmente, para cada p,q\in\mathbb{Q}, con q\neq 0, entonces f(p/q)=f(1)^{p/q}. Es decir, para a=f(1), las funciones f(x) y g(x)=a^{x} coinciden sobre \mathbb{Q}. Nuestra primera observación en este párrafo concluye el resultado.

Sobre la integral de Riemann-Stieltjes

de

Si f:[a,b]\to\mathbb{R} es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a α, entonces |f|:[a,b]\to\mathbb{R} es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a α.

Como f es integrable, está acotada, y por lo tanto |f| también está acotada.

Dada una partición P=\{a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n-1}<x_{n}=b\} tenemos que

\overline{S}(f,P,\alpha)-\underline{S}(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^{n} (M_{i}-m_{i})(\alpha (x_{i}-\alpha (x_{i-1}))

y

\overline{S}(|f|,P,\alpha)-\underline{S}(|f|,P,\alpha)=\sum_{i=1}^{n} (M'_{i}-m'_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1})).

Sabemos que \sup{A}-\inf{A}=\sup\{|x-y| : x,y \in A\}. Entonces

M_{i}-m_{i}=\sup{ \{ f(t): t \in [\alpha(x_{i-1}),\alpha(x_{i})] \} } - \inf{ \{ f(s): s \in [\alpha(x_{i-1}),\alpha(x_{i})] \} }
= \sup{ \{ |f(t)-f(s)|: s,t \in [\alpha(x_{i-1}),\alpha(x_{i})] \} }

para cada i.

Análogamente,

M'_{i}-m'_{i}=\sup{ \{ ||f(t)|-|f(s)||: s,t \in [\alpha(x_{i-1}),\alpha(x_{i})] \} }

Luego por desigualdad triangular ||f(t)|-|f(s)|| \leq |f(t)-f(s)|.
Entonces M'_{i}-m'_{i} \leq M_{i}-m_{i}, para cada i.

Luego \overline{S}(|f|,P,\alpha)-\underline{S}(|f|,P,\alpha) \leq \overline{S}(f,P,\alpha)-\underline{S}(f,P,\alpha).
Por lo tanto |f| es integrable.