Funciones continuas no diferenciables

de

1.- Consideremos la función \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}g(2^{2^n}x),

donde g(x)\begin{cases} 1+x, & x\in[-2,0]\\ 1-x, & x\in[0,2]\\ \end{cases}

, y g(x+4)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Mostraremos que f es continua y no diferenciable en todo \mathbb{R}.

En efecto. Para ver que f es continua basta notar que g lo es, y que por otra parte se tiene \displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}\Big|2^{-n}g(2^{2^n}x)\Big|=2^{-n}, con \displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}<\infty. Luego, como f es el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas, y por el M-Test de Weierstrass (http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_M_de_Weierstrass) f es continua.

Para mostrar que f no es diferenciable para todo x\in\mathbb{R} consideremos x\in\mathbb{R} arbitrario pero fijo y k\in\mathbb{N} arbitrario.  Luego, escojamos \displaystyle\triangle x=\pm 2^{-2^k} , donde el signo escogido es tal que x y x+\triangle x están en el mismo segmento lineal de \displaystyle g(2^{2^k}x).

Sea n\in\mathbb{N}, para n>k tenemos que:

\displaystyle g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x)=g(2^{2^n}x)-g(2^{2^n}x)=0, ya que g tiene periodo 4 y \displaystyle 2^{2^n}\triangle x=4q para algún q\in\mathbb{Z}.

Para n=k tenemos que :

\displaystyle |g(2^{2^k}(x+\triangle x))-g(2^{2^k}x)|=g(1+2^{2^k}x)-g(2^{2^k}x)=1.

Para n<k estimamos,

\displaystyle\sup_{n=1,..,k-1}|g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x)|\leq 2^{2^{k-1}}2^{-2^k}=2^{-2^{k-1}}

Y por lo tanto,

\displaystyle\Big|\sum_{n=1}^{k-1}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|\leq (k-1)2^{-2^{k-1}}<2^k2^{-2^{k-1}}\leq 1

Entonces,

\displaystyle\Big|\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\Big|=2^{2^k}\Big|\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|

=\displaystyle2^{2^k}\Big|\sum_{n=1}^{k}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|

\geq\displaystyle2^{2^k}\Big(1-\Big|\sum_{n=1}^{k-1}2^{-n}(g(2^{2^n}(x+\triangle x))-g(2^{2^n}x))\Big|\Big)

\geq\displaystyle2^{2^k}(1-2^k2^{-2^{k-1}})=2^{2^{k-1}}(2^{2^{k-1}}-2^k).

Finalmente, tomando k\rightarrow\infty se tiene que f'(x)\rightarrow \infty, concluyendo así, que f es no diferenciable para todo x\in\mathbb{R}.

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