Transformaciones inducidas por Intercambio de Intervalos

Las transformaciones definidas a partir de intercambios de intervalos son un ejemplo clave en sistemas dinámicos. En efecto, Arnoux, Ornstein y Weiss mostraron que todo sistema dinámico mesurable aperiódico es realizado (es decir, isomorfo en medida) a una de esas transformaciones. La definición exacta de tales sistemas es algo compleja, por lo que el objetivo primordial de este post es dar una idea de la construcción a partir de un ejemplo sencillo. Finalmente se darán algunos resultados mas específicos en un contexto puramente formal.

Comenzaremos con el intervalo $I=[0,1)$ y lo pensaremos como una columna consistente de una sola linea horizontal. La transformación en este nivel será definida como la aplicación identidad.
En el siguiente paso consideramos dos subintervalos $[0,1/2)$ y $[1/2,0)$ , los imaginaremos como una sola columna consistente en dos lineas horizontales, una sobre otra. Pensemos que cortamos la columna del paso uno en la mitad y colocamos la segunda mitad sobre la primera. Esta nueva columna esta dotada de una aplicación natural, la cual lleva un elemento de la primera línea en su valor correspondiente en la segunda, y la última linea es llevada en su valor correspondiente en la primera. Debemos imaginar que estamos intercambiando posiciones de intervalos de largo $1/2$ .
En el tercer paso, cortamos la nueva columna a la mitad, lo que nos deja dos columnas, la primera consistiendo de los intervalos $[0,1/4)$ , $[1/2,3/4)$ y la segunda consistiendo de los intervalos $[1/4,1/2)$ , $[3/4,1)$ . Colocamos la segunda columna sobre la primera, y obtenemos una nueva columna de ancho 1/4, y una aplicacion natural descrita como antes; es decir,

$[0,1/4)\rightarrow [1/2,3/4)\rightarrow [1/4,1/2)\rightarrow [3/4,1)\rightarrow [0,1/4)$

De manera más general, repetimos este proceso una cantidad infinita de veces de manera inductiva (siempre cortar a la mitad una columna, separar en dos, poner una sobre la otra y concluir definiendo la aplicación que lleva una línea en la superior, salvo por la última que regresa a la primera). La aplicación natural en cada iteración representa nada más que un intercambio de intervalos de igual medida (medida que es cada vez más y más pequeña, tendiendo a cero).
Si escribimos $T_{n}$ la aplicación inducida en el intervalo $[0,1)$ descrita en el n-ésimo paso, entonces podemos definir la aplicación $T:[0,1)->[0,1)$ como el límite puntual de las aplicaciones $T_{n}$ . Más específicamente, sea $x\not\in\{p/2^{k}, k\in\mathbb{N}, 0\leq p\leq 2^{k}\}$ , entonces, para $n$ suficientemente grande, $x\not\in [1-1/2^{n},1)$ y por lo tanto $T(x)$ está bien definida por $T(x)=T_{n}(x)$ .

La aplicación $T_{n}$ es una isometría por tramos. En efecto, ella está constituida por traslaciones de intervalos de longitud $1/2^{n}$ . De esta forma, la medida de Lebesgue en el intervalo unitario permite hablar de una transformación que preserva la medida de Lebesgue. La aplicación $T$ deviene entonces en una transformación que preserva la medida de Lebesgue definida para todo punto del intervalo, salvo por un conjunto de medida nula (precisamente numerable). Formalmente obtenemos

El siguiente teorema proviene del artículo «An entropy estimate for infinite interval exchange transformations» del autor Frank Blume.

Teorema 1. Si la entropía de la partición formada por los intervalos que definen $T$ es finita, entonces la entropía de la transformación es nula.

En nuestro ejemplo, la partición está definida por $I_{0}=[0,1/2)$ y $I_{n}=[1-(1/2)^{n},1-(1/2)^{n+1})$ . Un cálculo sencillo nos dice que su entropía $-\sum_{n=0}^{\infty}m(I_{n})\log m(I_{n})$ es igual a $2\log(2)$ , por lo que la entropía de $T$ es nula.

Uno está tentado a pensar que una transformación inducida por estos intercambios de intervalos deben ser de entropía nula en todos los casos (traslaciones en general tienen una dinámica lineal, por lo que su entropía es nula). Esto se encuentra bastante lejos de ser cierto. El teorema nombrado en un comienzo, y formalizado en el párrafo siguiente, nos da una gama gigante de tales transformaciones cuya entropía puede ser incluso infinita.

Teorema 2. Toda transformación aperiódica que preserva cierta medida de probabilidad es isomorfa a una transformación de intercambio de intervalos $T:[0,1)\rightarrow[0,1)$ del tipo siguiente

Subintervalos $I_{1}, I_{2},...$ dados por $I_{j}=(t_{j-1},t_{j})$ , con $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<\lim_{j}t_{j}=1$ ;
existen constantes reales $\{a_{j}\}$ tales que para $x\in I_{j}$ , $T(x)=x+a_{j}$ ;
el único punto de acumulación de $\{t_{j-1}+a_{j}\}\cup\{t_{j}+a_{j}\}$ es $1$ ;
$T$ es inyectiva.