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Nociones Basicas

de

1)  Supongamos que los vectores x_1, x_2, x_3, ... x_n generan un espacio vectorial X, y los vectores y_1, y_2, y_3, ... y_j son linealmente independientes en X. Entonces j \leq n .

Desde que x_1, x_2, x_3, ... x_n generan a X, todo vector en X puede ser escrito como una combinación lineal de x_1, x_2, x_3, ... x_n.

En particular, y_1= k_1x_1+ k_2x_2+ k_3x_3+ ...+ k_nx_n, con k_i\in \mathbb{R}, e i=1,...,n.

Por otra parte, como los vectores y_1, y_2, y_3, ... y_j son l.i. (linealmente independientes) tenemos que y_1\neq 0, entonces no todos los k son iguales a 0. Vale decir k_i\neq 0, para algún i=1,...,n.

Luego, x_i puede ser escrito como una combinación lineal de y_1 y los restantes x_s (el resto de los vectores sin considerar el i-ésimo). Por lo tanto, el conjunto formado por los vectores x, con x_i reemplazado por y_1 genera a X.

Ahora, si j \geq n repetimos este paso n-1 veces más y concluimos que y_1, y_2, y_3, ... y_n generan a X.

Si j>n estariamos en una contradicción respecto a la independencia lineal de los vectores y, puesto que y_{n+1} sería combinación lineal de y_1, y_2, y_3, ... y_n.

Por lo tanto concluimos que j \leq n

2)  Todas las bases de un espacio vectorial X finito dimensional contienen el mismo número de vectores.

Recordemos que una base es un conjunto finito de vectores que genera a un espacio vectorial X y estos son linealmente independientes.

Consideremos dos bases de X, x_1, x_2, x_3, ... x_n e y_1, y_2, y_3, ... y_m. Entonces por la demostración anterior tenemos que n\leq m y m\leq n. Luego concluimos que n=m.