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Una Propiedad Exponencial

de

Sea f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una función continua tal que

f(x+y)=f(x)f(y) para todos x,y\in\mathbb{R}

entonces f\equiv 0 o f(x)=a^{x} para algún a\in\mathbb{R}^{+}.

En efecto, lo primero que debemos notar es que o bien f(0)=0 o bien f(0)=1, para mostrarlo es suficiente escribir f(0)=f(0+0)=f(0)^{2} lo que implica el resultado. Si f(0)=0 entonces f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 para cada x\in\mathbb{R}. Si no, entonces f(0)=1 y f(1)=f(\frac{1}{n}\cdot n)=f(\frac{1}{n})^{n}, lo que implica que f(1)>0 pues para n suficientemente grande, f(1/n)>0 por continuidad en el origen. Es fácil ver también que lo último implica que f(x)>0 para cada x\in\mathbb{R}.

Observemos ahora que en cada conjunto compacto (cerrado y acotado) la función es Riemann integrable por continuidad, por lo tanto

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{kx}{n}\right)\frac{x}{n}}

Por otro lado, para todo n natural y y\in\mathbb{R}, f(ny)=f(y)^{n} y f(y/n)=f(y)^{1/n}, de donde

\displaystyle{f\left(\frac{kx}{n}\right)=f(x)^{\frac{k}{n}}}

Lo que implica

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x)^{\frac{k}{n}}}

y luego la suma geométrica nos entrega

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\frac{f(x)-1}{f(x)^{1/n}-1}}.

Recordemos ahora que \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}n(y^{1/n}-1)} para cada y\in\mathbb{R}^{+}, entonces

\int_{0}^{x}f(t)dt=\dfrac{x(f(x)-1)}{\log{f(x)}}.

En el caso particular de $x=n$ obtenemos $f(n)=f(1)^{n}$ y por lo tanto

\int_{0}^{n}f(t)dt=\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}.

Por otro lado un simple cambio de variables implica

\int_{x}^{x+n}f(t)dt=\int_{0}^{n}f(t+x)dt=f(x)\int_{0}^{n}f(t)dt

por lo que si derivamos respecto a x, nos queda

f(x+n)-f(x)=\frac{df}{dx}(x)\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}},

pero  f(x+n)-f(x)=f(x)(f(n)-1), entonces

f(x)\log{f(1)}=\frac{df}{dx}(x).

Basta considerar a=f(1) y resolver la ecuación diferencial para concluir que f(x)=a^{x}.

Otra forma de resolver el problema es una perspectiva de la densidad. En efecto, si dos funciones f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} continuas coinciden en un conjunto denso, entonces las funciones coinciden en toda la recta real. Para ello basta considerar un punto arbitrario y estudiar la convergencia a tal punto por sucesiones del conjunto denso, los límites deben ser iguales al evaluar en cada función. Finalmente, para cada p,q\in\mathbb{Q}, con q\neq 0, entonces f(p/q)=f(1)^{p/q}. Es decir, para a=f(1), las funciones f(x) y g(x)=a^{x} coinciden sobre \mathbb{Q}. Nuestra primera observación en este párrafo concluye el resultado.

Rotaciones del Toro (Caso real 1 dimensional)

de

Este post tiene por finalidad entregar un ejemplo básico, pero bastante interesante, de un fenómeno estudiado en los Sistemas Dinámicos (topológicos). Los detalles rigurosos, ya sean definiciones o conceptos, no seran estrictamente necesarios, pero se espera que el lector este familiarizado con algunos términos.

Consideremos el conjunto \mathbb{R} de números reales. Sobre este conjunto podemos definir una relación de equivalencia. Decimos que dos reales x,y estan relacionados (por el grupo aditivo \mathbb{Z}) si x-y \in \mathbb{Z}, es decir, su diferencia es un número entero. No es difícil probar que esta es efectivamente una relación de equivalencia; en efecto, si x,y,z son reales, entonces

  • x-x = 0 \in \mathbb{Z} lo que hace que la relación sea refleja,
  • si x-y es entero entonces lo es y-x, por lo que la relación es simétrica, y por último
  • si x-y \in \mathbb{Z} y y-z \in \mathbb{Z} entonces x-z=(x-y)+(y-z) \in \mathbb{Z}, luego la relación es transitiva.

Consideramos ahora el espacio \mathbb{T}=\mathbb{R}/\sim, es decir, el espacio de las clases de equivalencia bajo esta relación. A este espacio le llamamos 1-Toro (real). Podemos imaginar a \mathbb{T} como el intervalo [0,1) donde en este caso 0 y 1 representan al mismo elemento. Dotamos a \mathbb{T} de la siguiente distancia (métrica):

d(\hat{x},\hat{y})=\min{\{|x-y+k|:k\in \mathbb{Z}\}}

Donde, de ahora en adelante, \hat{x} es un elemento del toro y x es un representante real de los elementos de la clase. Esto hace que la distancia sobre el espacio esté bien definida (es un buen ejercicio probar que efectivamente se satisfacen las hipótesis que definen una distancia).

Definamos ahora sobre el toro la aplicación T_{\hat{\alpha}}:\mathbb{T} \rightarrow \mathbb{T}, tal que \hat{x}\mapsto \hat{x}+\hat{\alpha}, donde \alpha es un número real irracional y \hat{\alpha} es su clase de equivalencia.

Observación: Es posible probar que \hat{x}+\hat{\alpha}=\hat{x+\alpha} por lo que la aplicación está bien definida.

Un Sistema Dinámico discreto, tiene como fin el estudio de las órbitas de un punto bajo cierta aplicación de un espacio en sí mismo. Es decir, en nuestro caso, buscamos estudiar a los conjuntos

\mathcal{O}^{+}(\hat{x})=\{T^{n}(\hat{x})|n\in \mathbb{N}\}

o escrito de manera equivalente, a los conjuntos

\mathcal{O}^{+}(\hat{x})=\{ \hat{x}+\hat{n\alpha}|n\in \mathbb{N}\}

donde \hat{x} es un elemento de \mathbb{T}. Este conjunto se conoce como la órbita positiva de \hat{x}.

En el post de Densidad provocada por un número irracional, mostramos que el conjunto \mathbb{Z}+\alpha\mathbb{N} es denso en los reales para \alpha un número irracional. ¿Cómo se ve esto reflejado al ver este conjunto bajo el cuociente de nuestra relación?

Consideremos \hat{x} un punto en \mathbb{T} y sea x un real representando a la clase de equivalencia \hat{x}. Por densidad, para cada \varepsilon>0, podemos encontrar a un elemento de la forma k+n\alpha tal que |x-(k+n\alpha)|<\varepsilon, es decir,

\min{\{|x-(m+n\alpha)|:m \in \mathbb{Z}\}}\leq|x-(k+n\alpha)|<\varepsilon

por lo que d(\hat{x},\hat{n\alpha})<\varepsilon.

Lo anterior se traduce en que para cada elemento \hat{x} del toro, podemos encontrar un elemento del conjunto  \{ \hat{na}|n\in \mathbb{N}\} que se encuentra arbitrariamente cerca de \hat{x}. Hemos probado entonces que la órbita positiva del elemento \hat{0} del toro es densa.
Como además, el conjunto \mathcal{O}^{+}(\hat{x})=T_{\hat{x}}(\mathcal{O}^{+}(\hat{0})) y las translaciones del toro son isometrías del toro, entonces \mathcal{O}^{+}(\hat{x}) es también denso en el toro. Hemos probado lo siguiente:

Proposición: Toda órbita de una rotación irracional del toro es densa.

Iteraciones de un punto bajo la rotación irracional del toro

Densidad provocada por un número irracional

de

Sea \alpha un número irracional. Demuestre que \mathbb{Z}+ \alpha \mathbb{Z} es denso en los reales.

Lo primero que debemos considerar es que G=\mathbb{Z}+ \alpha \mathbb{Z} es un subgrupo (aditivo) de los reales. Claramente G es asociativo, tiene neutro (el neutro aditivo de los reales) y tiene inverso (un elemento n+\alpha m tiene inverso (-n)+\alpha (-m)). Queda mostrar que G es cerrado bajo la suma; en efecto,

(n+\alpha m)+(n'+\alpha m')=(n+n')+\alpha (m+m') \in G.

Consideremos ahora el conjunto G^{+} definido por G \cap (0,\infty). Gracias al axioma del supremo podemos asegurar que G^{+} tiene ínfimo (es no vacío pues la unidad está en el conjunto, y es acotado inferiormente por el neutro). Sea entonces \varepsilon = \inf G^{+}. Mostraremos que \varepsilon=0.
Supongamos que no, entonces \varepsilon>0. Aseguramos que el conjunto [\varepsilon ,2\varepsilon) no contiene más de dos elementos de G^{+}. Si hubiesen dos elementos \eta, \gamma \in [\varepsilon,2\varepsilon) tal que \eta > \gamma, entonces como G grupo aditivo se tiene \eta - \gamma \in G, pero esta diferencia es positiva, por lo que \eta - \gamma \in G^{+}. Ya que (\eta-\gamma)<\varepsilon, se concluye que existe un elemento de G^{+} (a saber \eta-\gamma) menor que su ínfimo, lo que es una contradicción. Esto significa que el conjunto [\varepsilon,2\varepsilon) contiene a lo más un elemento de G^{+}, pero por construcción del ínfimo, \varepsilon debe ser el único elemento en dicho conjunto. Con esto, uno puede escribir

1=q \varepsilon + r                 \alpha = p \varepsilon + r'

donde p,q son enteros y r,r' son reales en [0,\varepsilon ). Notemos que por la afirmación del párrafo precedente se concluye que r,r' pertenecen a G^{+}, por lo que deben ser nulos. Esto nos dice que

\alpha = \frac{p}{q}

lo que es una contradicción (\alpha es irracional).

Para concluir, escogemos x \in \mathbb{R} y para \varepsilon > 0 consideramos algún elemento y de G^{+} tal que 0<y<\varepsilon. Finalmente consideramos a

\mathbb{R}= \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [ky,(k+1)y)

De donde existe un entero k_{0} tal que k_{0}y\leq x<(k_{0}+1)y, por lo que se concluye el resultado.



Este resultado puese ser generalizado un poco más, de hecho, es posible probar que H=\mathbb{Z} +\alpha \mathbb{N} es denso en los reales.

Por el resultado anterior podemos encontrar una sucesión de términos de la forma p_{n}+\alpha q_{n} donde p_{n},q_{n} \in \mathbb{Z} para cada n y tal que es decreciente a cero.  Existen dos posibilidades (pueden ocurrir al mismo tiempo), o bien existen infinitos términos q_{n} en los naturales, o bien existen infinitos tales términos negativos.

  • En el primer caso se deduce que para cada x \in [0,\infty) podemos encontrar una sucesion de terminos en H convergiendo a x. Eso se debe a que, al igual que antes, dado $\varepsilon >0$ existe por hipótesis un elemento de la forma p_{n}+\alpha q_{n} que satisface

    0<p_{n}+\alpha q_{n}<\varepsilon.

    De este modo, cubrimos [0,\infty) con intervalos de la forma [k(p_{n}+\alpha q_{n}),(k+1)(p_{n}+\alpha q_{n})], por lo que x debe pertenecer a uno de ellos, y por lo tanto, como el largo de los intervalos es menor que \varepsilon, se obtiene la densidad en [0,\infty). Esto implica necesariamente, por como esta definido H, que H es denso en todo intervalo de la forma [k,\infty), donde k es un entero. De aqui se concluye la densidad en los reales.

  • En el segundo caso, para cada \varepsilon >0 podemos encontrar naturales n,n' tal que

    0<p_{n'}+\alpha q_{n'}<p_{n}+\alpha q_{n}<\varepsilon

    donde q_{n'}<q_{n}. Se concluye entonces que

    0<p_{n'}-p_{n}+\alpha (q_{n'}-q_{n})<\varepsilon

    lo que permite concluir como en el primer caso.

Densidad de racionales con denominador potencia de un entero.

de

Sea p un entero mayor que 1. Demuestre que el conjunto de números reales de la forma \frac{m}{p^{n}} donde m es entero y n es natural, son densos en \mathbb{R}.

Probaremos la densidad sobre [0,1] para n natural y m \in \{0,1,...,p^{n}\}.Sea entonces x \in [0,1] y \varepsilon > 0. Por principio de Arquimides existe un entero positivo N tal que \dfrac{1}{p^{N}} < \varepsilon. Consideremos ahora una partición de [0,1] dada por los intervalos de la forma [\dfrac{i}{p^{N}},\dfrac{i+1}{p^{N}}] para i \in \{0,...,p^{N}-1\}. Por construcción (definición de partición) x debe pertenecer a alguno de esos intervalos, por lo tanto existe m \in \{0,...,p^{N}-1\} tal que x \in  [\frac{m}{p^{N}},\frac{m+1}{p^{N}}], y luego |x-\dfrac{m}{p^{N}}| < |\frac{m+1}{p^{N}}-\frac{m}{p^{N}}|=\frac{1}{p^{N}} <\varepsilon.

Es decir, acabamos de probar que para cada x \in [0,1] y todo \varepsilon>0, existe un elemento de la forma \dfrac{m}{p^{n}} tal que |x - \dfrac{m}{p^{n}}|<\varepsilon, la cual es precisamente la definición de densidad.