Densidad de racionales con denominador potencia de un entero.

de

Sea p un entero mayor que 1. Demuestre que el conjunto de números reales de la forma \frac{m}{p^{n}} donde m es entero y n es natural, son densos en \mathbb{R}.

Probaremos la densidad sobre [0,1] para n natural y m \in \{0,1,...,p^{n}\}.Sea entonces x \in [0,1] y \varepsilon > 0. Por principio de Arquimides existe un entero positivo N tal que \dfrac{1}{p^{N}} < \varepsilon. Consideremos ahora una partición de [0,1] dada por los intervalos de la forma [\dfrac{i}{p^{N}},\dfrac{i+1}{p^{N}}] para i \in \{0,...,p^{N}-1\}. Por construcción (definición de partición) x debe pertenecer a alguno de esos intervalos, por lo tanto existe m \in \{0,...,p^{N}-1\} tal que x \in  [\frac{m}{p^{N}},\frac{m+1}{p^{N}}], y luego |x-\dfrac{m}{p^{N}}| < |\frac{m+1}{p^{N}}-\frac{m}{p^{N}}|=\frac{1}{p^{N}} <\varepsilon.

Es decir, acabamos de probar que para cada x \in [0,1] y todo \varepsilon>0, existe un elemento de la forma \dfrac{m}{p^{n}} tal que |x - \dfrac{m}{p^{n}}|<\varepsilon, la cual es precisamente la definición de densidad.

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