Números Naturales | Sea epsilon...

El conjunto de los naturales ( $\mathbb{N}$ ) no está acotado superiormente.

Supongamos que si. Entonces, como $1 \in \mathbb{N} \neq \emptyset$ podemos aplicar el axioma del supremo, es decir, $\exists c \in \mathbb{\mathbb{R}}$ tal que $c=\sup{\mathbb{N}}$ . En tal caso $c-1$ no es cota superior (si lo fuera, $c-1$ sería cota superior, menor a la menor cota superior de $\mathbb{N}$ , un absurdo), luego existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $c-1<n$ , de donde se concluye $c<n+1 \in \mathbb{N}$ . Es decir, $c$ no es cota superior de $\mathbb{N}$ , lo que contradice nuestra hipótesis.