Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte IV)

12 abril, 2013 de Felipe Riquelme

En el post anterior describimos a los elementos de $PSL(2,\mathbb{R})$ segun tres tipos. Modulo conjugación, estos elementos se caracterizan por, o bien fijar un punto en el plano hiperbólico, o bien fijar un elemento en la frontera (de modo atractor), o bien fijar dos elementos en la frontera (uno atractor y otro repulsor). Vimos que en particular, los elementos elípticos, luego de conjugarlos de una manera adecuada, son de la forma

$A_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right)$ .

Este elemento es en efecto una rotación con centro en $i$ y de ángulo $-2\theta$ . Naturalmente, con lo que sabemos hasta ahora, visualizar esto no es evidente. Se hace necesario un modelo hiperbólico en el cual la geometría sea mucho más precisa y clarificante (pero pagando ese precio, perdemos facilidad en algunos cálculos).

Sea $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ , entonces la función $f:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{D}$ , definida por

$f(z)=\frac{z-i}{z+i}$

es una biyección. Debemos probar primero que nuestro recorrido es efectivamente el disco, para ello notamos que si $z\in\mathbb{H}$ entonces $|z-i|<|z+i|$ (ver figura), y por lo tanto $|f(z)|<1$ . Por otro lado, para $w\in\mathbb{D}$ se tiene que $\frac{i(w+1)}{1-w}$ es un elemento del plano hiperbólico, y es el único elemento tal que al componerla con $f$ me entrega nuevamente $w$ . Hemos encontrado una inversa continua.

Observación: Obtuvimos un homeomorfismo, que desde el punto de vista de variable compleja representa un biholomorfismo. En particular los ángulos se preservan.

A modo de observación, podemos definir una métrica en $\mathbb{D}$ dada por $|ds|=\frac{|g'(z)||dz|}{Im(g(z))}$ , la cual de manera intuitiva representa la métrica imagen vía $g=f^{-1}$ (las distancias entre dos puntos del disco son las distancias de las imagenes vía $g$ ). Un simple cálculo muestra que

$|ds|=\frac{2|dz|}{1-|z|^{2}}$ .

Ejercicio: Verificar que las geodésicas del disco con esta métrica son, o bien segmentos de circunferencias ortogonales al borde del disco unitario, o bien segmentos de rectas que pasan por el origen.

Observación: Por como definimos esta métrica, $f$ es una isometría.

Volviendo a lo que nos interesa, queremos representar en el plano hiperbólico las rotaciones. Como tenemos una aplicación conforme del plano en el disco, entonces podemos estudiar las rotaciones del disco (que son fáciles de representar) y trasladar nuestra información, vía nuestra aplicación, al semiplano:

Sabemos que $f(i)=0$ , por lo que una rotación con centro en «latex i» se traduce en el disco en una rotación con centro en el origen. Por otro lado, una rotación en ángulo $\theta$ en el disco es representado por $z\mapsto e^{i\theta}z$ . Matricialmente esta acción está dada por

$z\mapsto\left(\begin{array}{cc}e^{\theta/2}&{0}\\{0}&e^{-\theta/2}\end{array}\right)\cdot z$

por lo que, escribiendo $z\mapsto f(z)$ de la forma

$z\mapsto \left(\begin{array}{cc}{1}&{-i}\\{1}&{i}\end{array}\right)\cdot z$

nos queda, denotando $R_{\theta}$ la rotación en ángulo $\theta$ con centro en $i$ del plano hiperbolico,

$R_{\theta}=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}{i}&{i}\\{-1}&{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e^{\theta/2}&{0}\\{0}&e^{-\theta/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1}&{-i}\\{1}&{i}\end{array}\right)$

o escrito en forma reducida

$R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta/2}&\sin{\theta/2}\\-\sin{\theta/2}&\cos{\theta/2}\end{array}\right)$ .

Notar que esto muestra nuestra primera afirmación. De acuerdo a la matriz escrita al comienzo, $A(\theta)$ es exactamente una rotación en ángulo $-2\theta$ .

Resumiendo, en los últimos dos post hemos escrito tres tipos de matrices, de acuerdo a su comportamiento dinámico, y dos de acuerdo a su acción geométrica en el plano hiperbólico. Éstas son

$R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta/2}&\sin{\theta/2}\\-\sin{\theta/2}&\cos{\theta/2}\end{array}\right)$

$T_{d}=\left(\begin{array}{cc}e^{d/2}&{0}\\{0}&e^{-d/2}\end{array}\right)$

La primera representando una rotación en ángulo $\theta$ y centro $i$ (el cual es fijo), y la segunda representando un elemento hiperbólico con dos puntos fijos $0,\infty$ y con distancia de desplazamiento $d$ .

Si aplicamos entonces la matriz $R_{\pi/2}$ a $T_{d}$ nos queda (como vimos en el post anterior) un elemento hiperbólico con punto repulsor $-1$ y atractor $1$ . A saber, el elemento

$\left(\begin{array}{cc}\cosh{d/2}&\sinh{d/2}\\\sinh{d/2}&\cosh{d/2}\end{array}\right)$

Representación Adjunta

Una herramienta útil en el estudio algebraico de las acciones dada por el grupo $PSL(2,\mathbb{R})$ está dada por la representación adjunta. Para introducirla debemos definir el grupo $sl(2,\mathbb{R})$ .

Definición: El grupo $sl(2,\mathbb{R})$ se define como el grupo (aditivo) de todas las matrices con traza nula.

Notar que $sl(2,\mathbb{R})$ tiene una estructura de espacio vectorial real. Ademas, el grupo $SL(2,\mathbb{R})$ actúa en $sl(2,\mathbb{R})$ por conjugación. En efecto, si

$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R})$ y $X=\left(\begin{array}{cc}x&y\\z&-x\end{array}\right)\in sl(2,\mathbb{R})$

se tiene

$AXA^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x&y\\z&-x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}(ad+bc)x+bdz-acy&-b^{2}+a^{2}y-2abx\\d^{2}z-c^{2}y+2cdx&-(ad+bc)x-bdz+acy\end{array}\right)$

de donde es claro que $tr(AXA^{-1})=0$ (por lo que la acción está bien definida).

Implicitamente escribimos $X$ con cierta estructura que deja en evidencia una base (visto como espacio vectorial). Escogemos entonces una base para $sl(2,\mathbb{R})$ la dada por

$e_{1}=\left(\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right)$ , $e_{2}=\left(\begin{array}{cc}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}\right)$ y $e_{3}=\left(\begin{array}{cc}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{array}\right)$

Y por lo tanto, si definimos la aplicación adjunta de $A$ como $Ad(A):sl(2,\mathbb{R})\rightarrow sl(2,\mathbb{R})$ , en la base anterior se escribe matricialmente como

$Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{ad+bc}&{bd-ac}&-ac-bd\\-ab+cd&\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})&\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\-ab-cd&\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})&\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\end{array}\right)$

Y por lo tanto hemos definido una aplicación (o representación), llamada adjunta, de la forma $ad:SL(2,\mathbb{R})\rightarrow End(sl(2,\mathbb{R}))$ . Es posible verificar que $Ker(ad)=\pm Id$ .

Por último debemos recordar que estamos trabajando sobre un espacio vectorial, y para facilitar los calculos, es mejor trabajar con la adjunta de las matrices elementales que encontramos. Éstos son los tres casos principales

Si $A=\left(\begin{array}{cc}e^{d/2}&{0}\\{0}&e^{-d/2}\end{array}\right)$ , entonces $Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&\cosh(d)&\sinh(d)\\{0}&\sinh(d)&\cosh(d)\end{array}\right)$
Si $A=\left(\begin{array}{cc}\cosh(d/2)&\sinh(d/2)\\\sinh(d/2)&\cosh(d/2)\end{array}\right)$ , entonces $Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{\cosh(d)}&{0}&-\sinh(d)\\{0}&{1}&{0}\\{-\sinh(d)}&{0}&\cosh(d)\end{array}\right)$
Si $A=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\-\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{array}\right)$ , entonces $Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{\cos(\theta)}&{\sin(\theta)}&{0}\\{-\sin(\theta)}&{\cos(\theta)}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right)$ .

Grupos Fuchsianos

8 abril, 2013 de Felipe Riquelme

En este post se asumirá que el lector tiene un conocimiento en superficies de Riemann y topología algebraica.

Definición: Un grupo Fuchsiano es un subgrupo discreto de $PSL(2,\mathbb{R})$ .

Observación: Aquellos que conocen el Teorema de Uniformización, probablemente tengan en mente el siguiente resultado. Una superficie de Riemann compacta de género mayor o igual a 2 proviene del cuociente del disco unitario con un subgrupo de isometrías del disco. Este subgrupo es isomorfo al grupo fundamental, y por lo tanto, en vista del isomorfismo excepcional $SU(1,1)\simeq PSL(2,\mathbb{R})$ , concluimos que dicho grupo de isometrías es un grupo fuchsiano (o isomorfo a uno).

Primero intentaremos caracterizar a los grupos Fuchsianos, una forma se basa en el lema siguiente. De aquí en adelante denotaremos $\Gamma\leq PSL(2,\mathbb{R})$

Lema: $\Gamma$ es Fuchsiano si y solamente si él actua discontinuamente (todas las órbitas discretas) en $\mathbb{H}$ .

Demostración:

El grupo $PSL(2,\mathbb{R})$ actúa libre y transitivamente sobre el fibrado tangente unitario $U\mathbb{H}$ (pensar en el espacio tangente de $\mathbb{H}$ considerando direcciones unitarias, si fija un punto y una dirección, debe ser la identidad). Luego $\Gamma$ es discreto, si y solamente si, la acción en el fibrado es discreto. Así, las órbitas son discretas en $PSL(2,\mathbb{R})$ si y solamente si lo son en $\mathbb{H}$ .

$\blacksquare$

Definición: Un polígono de $\mathbb{H}$ es un subconjunto cerrado, convexo, con borde geodésico por tramos. Un lado es un segmento geodésico maximal en el borde y un vértice (definicion temporal) es un punto del borde definido por ser la intersección de dos lados. El polígono se dice finito si tiene un número finito de lados.

El objetivo de este post es enunciar (y dar una intuición antes de eso) el Teorema del Polígono de Dirichlet.

Definición: Un polígono $P$ se dice fundamental para el grupo $\Gamma$ si las traslaciones de $P$ por el grupo $\Gamma$ cubren $\mathbb{H}$ y las translaciones del interior del polígono son dos a dos disjuntas.

Definición: Un polígono de Dirichlet $P_{p}$ asociado a $\Gamma$ y centrado en $p$ es el conjunto

$P_{p}=\{z\in\mathbb{H}:\forall\gamma\in\Gamma,\textmd{ }d(z,p)=d(z,\gamma\cdot p)\}$ .

Con estas definiciones, es posible probar que para $\Gamma$ un grupo Fuchsiano y $p\in\mathbb{H}$ de estabilizador trivial en $\Gamma$ , entonces el poligono de Dirichlet $P_{p}$ es un polígono (segun nuestra primera definición). Mas aún, dicho polígono es fundamental.

Consideramos entonces un grupo Fuchsiano $\Gamma$ y un polígono de Dirichlet $P=P_{p}$ centrado en un punto con estabilizador trivial. El objetivo de los siguientes parrafos es encontrar una representación del grupo.

Lema: Sea $z\in\partial P$ . Entonces existe $Id\neq\gamma\in\Gamma$ tal que $\gamma\cdot z$ pertenece también a $\partial P$ . Además, un tal $\gamma$ es único si $z$ no es un vértice.

Demostración:

Por la definición de polígono de Dirichlet, $z\in\partial P$ si y solamente si existe $\gamma\neq Id$ tal que la distancia de $z$ a $\Gamma\cdot p$ (la orbita de $z$ ) es alcanzada por $p$ y $\gamma p$ . Así, la distancia de $z$ a $p$ es igual (recordar que la acción es por isometrías) a la distancia entre $p$ y $\gamma^{-1}\cdot z$ , y por tanto nuestro elemento buscado es $\gamma^{-1}$ . Recíprocamente, si $z$ y $\gamma^{-1}\cdot z$ están en el borde del polígono, entonces $z$ es equidistante de $p$ y $\gamma\cdot p$ .

Si existiera un $\delta\in\Gamma$ tal que $\delta\cdot z$ está en la frontera del polígono, entonces $d(p,\gamma\cdot z)=d(p,\delta\cdot z)$ y luego, si $\gamma\neq\delta$ entonces $z$ esta en la intersección de los polígonos fundamentales $P_{p},P_{\delta\cdot p},P_{\gamma\cdot p}$ . Como los polígonos cubren a $\mathbb{H}$ se tiene que $z$ debe ser un vértice.

$\blacksquare$

Naturalmente, el lema anterior no nos especifica si uno podría tener que $z\neq\gamma\cdot z$ . La igualdad puede ser alcanzada por los vértices, pero también por los puntos medios de los segmentos geodésicos (deben pensar que no puede ser otro punto del segmento pues debe haber una acción por isometría). Definimos entonces los vértices del polígono como los vértices ya definidos unidos a los puntos medios de los segmentos que satisfacen la igualdad anterior (es decir, tienen estabilizador no trivial). Con esta nueva definición, un punto en el borde que no es un vértice, debe tener por imagen (vía el único elemento del grupo descrito como antes) un punto del borde del polígono en un segmento geodésico que no es el mismo al cual pertenece. Si enumeramos los lados $L_{1},...,L_{m},...$ , estos son aquellos tales que para cada $i\in\{1,2,...\}$ existe un único $\gamma_{i}\neq Id$ del grupo, y un único $j\neq i$ tal que $\gamma_{i}$ envia $L_{i}$ en $L_{j}$ (y este invierte la orientación dada por la la usual como borde de un conjunto convexo).

Lo anterior nos dice que un polígono con cantidad finita de lados, debe tener cardinalidad de lados par. Además, por unicidad, es claro que $\gamma_{j}=\gamma_{i}^{-1}$ . Escribimos $\sigma:i\mapsto j$ a tal involución.

Definición: El par $(\sigma,\{\gamma_{i}\})$ se conoce como apareamiento de lados para el polígono $P_{p}$ .

Proposición: Suponiendo que $P$ es finito, entonces $\Gamma$ es generado por los $\gamma_{i}$ .

Demostración:

Sea $\gamma\in\Gamma$ . Si $\gamma$ es uno de los $\gamma_{i}$ , entonces $\gamma\cdot p$ pertenece a una copia de $P$ vecina a $P$ . Si no, consideremos un camino de $p$ a $\gamma\cdot p$ que evita vértices y es transversal a los lados (de todas las traslaciones de $P$ en caso que las intersecte). Consideramos la sucesion finita $C_{1},...,C_{N}$ de lados tales que el camino los cruza. Cada uno de esos lados es la imagen de un unico lado $L_{i_{k}}$ de $P$ . De esta forma, el vecino de $P$ a lo largo de $L_{i_{k}}$ es por construccion la traslacion $\gamma_{i_{k}}^{-1}(P)$ . No es dificil de ver que $\gamma(P)=\gamma_{i_{1}}^{-1}...\gamma_{i_{N}}^{-1}(P)$ . Con esto se concluye que $\gamma=\gamma_{i_{1}}^{-1}...\gamma_{i_{N}}$ .

En la figura adjunta se muestra un diseño de lo que sucede (los cambios de notacion son evidentemente adecuables a nuestra escritura)

$\blacksquare$

Por último, podemos definir una relación de equivalencia entre los vértices del polígono. Dos vértices se relacionan si existe un elemento del grupo que envía uno en otro. Llamamos ciclo elíptico a una clase de equivalencia. Además, un ciclo es determinado por una cantidad finita de vértices debido al cubrimiento de las traslaciones del polígono y la discretitud del grupo. Finalmente se define como ángulo de un ciclo a la suma de los ángulos del polígono en cada vértice del ciclo.

Definición: Denotamos $\tilde{\sigma}(i)=\sigma(i)-1$ . Si escribimos $s_{i}=L_{i}\cap L_{i+1}$ , entonces el ciclo de $s_{i}$ es $\{s_{i},s_{\tilde{\sigma(i)}},...,,s_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\}$ donde $l$ es el primer entero tal que $s_{\tilde{\sigma^{l+1}(i)}}=i$ .

Proposición: El ángulo de un ciclo es de la forma $\frac{2\pi}{q}$ para $q\in\mathbb{Z}$ . En tal caso $\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i}$ genera el estabilizador de $s_{i}$ y es de orden $q$ .

Demostración:

Por construcción $\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i}$ fija $s_{i}$ , luego es de orden finito (por ser discreto). Cualquier elemento $\gamma$ que fija $s_{i}$ debe ser una rotación en ángulo el ángulo del ciclo. Es fácil ver que tal el elemento debe ser de la forma $\gamma_{\tilde{\sigma^{k}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i}$ donde $k$ es un multiplo de $l$ .

$\blacksquare$

Si resumimos, partiendo de un grupo Fuchsiano y un polígono de Dirichlet asociado, encontramos un apareamiento de lados, una involución que describe el apareamiento. Cada vértice pertenece a un ciclo, con ángulo de ciclo dividiendo a $2\pi$ . Los elementos que relacionan los lados satisfacen $\gamma_{\sigma(i)}=\gamma_{i}^{-1}$ y $(\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i})^{q}=Id$ donde el ángulo de ciclo es $\frac{2\pi}{q}$ .

Con esto en mente, es natural preguntarse si existe algún tipo de recíproco. En efecto

Teorema (Polígono de Poincaré)

Sea $P$ un polígono compacto de lados $L_{1},...,L_{2n}$ con un apareamiento $(\sigma,\{\gamma_{i}\})$ tal que el ángulo de cada ciclo divide a $2\pi$ . Entonces el grupo $\Gamma$ generado por los $\gamma_{i}$ es Fuchsiano y de representación

$<(\gamma_{i})_{i=1,...,2n}|\gamma_{\sigma(i)}=\gamma_{i}^{-1},(\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i})^{q}=Id\textmd{ donde el angulo de ciclo es }\frac{2\pi}{q}\textmd{ en el vertice }s_{i}>$ .

Debemos hacer una observacion no menor. Este resultado es mucho mas general, para (por ejemplo) un polígono no compacto, el cual tiene vértices en la frontera del plano hiperbólico. Estos vértices se conocen como vértices en el infinito, y sus ciclos se llaman ciclos parabólicos (pues la isotropía en esos puntos son elementos parabólicos de $PSL(2,\mathbb{R})$ ). ¡Es un resultado precioso!.

Para concluir con este post, mostraremos una pequeña aplicación de estos resultados

Grupos Fuchsianos y Superficies de Riemann

Sea $P$ un polígono de $2n$ lados, de área finita, con un apareamiento $(\sigma,\{\gamma_{i}\})$ . Escribimos $c_{e}$ la cantidad de ciclos elípticos y $c_{p}$ la cantidad de ciclos parabólicos.

Proposición: Si $P$ satisface las hipótesis del Teorema de Poincaré y $\Gamma$ es el grupo generado por los $\gamma_{i}$ , entonces el cuociente de $\mathbb{H}\bigcup\{\textmd{vertices en el infinito}\}$ por $\Gamma$ es una superficie de Riemann compacta de género

$g=\dfrac{1+n-(c_{e}+c_{p})}{2}$

Demostración:

Las cartas para los puntos en las traslaciones del interior del polígono se definen por la identidad para una vecindad suficientemente pequeña. En los vértices elípticos se definen por $z\mapsto z^{q}$ donde $q$ representa el ángulo del ciclo, y en los vértices en el infinito debemos ser mas sutiles. Después de conjugar, supongamos que el vértice es $z=\infty$ y que el elemento parabólico definido por el ciclo es $\phi(z)=z+1$ . Entonces la función $z\mapsto\exp(2\pi iz)$ define una carta local. La compacidad proviene del cubrimiento finito definido por estas cartas (o también se puede pensar que estamos compactificando la superficie $\mathbb{H}/\Gamma$ ) y el cálculo del género resulta de trazar triángulos desde el centro del polígono a los vértices (mirado todo en el plano hiperbólico) y luego cuocientamos y usamos la característica de Euler. Modulo la acción la triangulación nos queda con $2n$ triángulos, $c_{e}+c_{p}+1$ vértices y $3n$ aristas. Es decir, $2-2g=2n-3n+(c_{e}+c_{p}+1)$ .

$\blacksquare$

Bibliografía:
[Sai2011] _____, Uniformisation des surfaces de Riemann, ENS Éditions, 2011.

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte III), PSL(2,R)

7 abril, 2013 de Felipe Riquelme

El objetivo de este post es conocer el grupo lineal proyectivo real $PSL(2,\mathbb{R})$ .

En el post (Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte II)) definimos el grupo lineal especial $SL(2,R)$ como las matrices cuadradas de $2\times 2$ , a coeficientes reales y determinante 1. Definimos la acción de este grupo sobre el plano de Poincaré dado por las homografías, es decir;

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}$ .

Notemos que, sin embargo, existen dos tipos de matrices que tienen la misma imagen vía la acción. En efecto, si $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ entonces

$(-A)\cdot z=\frac{-az-b}{-cz-d}=\frac{az+b}{cz+d}$ .

Luego, definimos $PSL(2,\mathbb{R})=SL(2,\mathbb{R})/\sim$ donde $A\sim B$ si y sólo si $B=-A$ o $B=A$ .

Por simplicidad de notación, de ahora en adelante, seguiremos escribiendo $A\cdot z$ a la acción de $PSL(2,\mathbb{R})$ sobre $\mathbb{H}$ , cuando en estricto rigor debieramos escribir $(\pm$ $A)\cdot z$

Con lo anterior en mente, necesitamos establecer distintos tipos de elementos en este grupo. Por asuntos de nuestro estudio, salvo conjugación, existen 3 en esencia. Si $A\neq Id$ (donde $Id$ representa la identidad en $PSL(2,\mathbb{R})$ )

Notemos que $A\cdot z=z$ es equivalente a resolver $\frac{az+b}{cz+d}=z$ .

Caso 1: Si $c=0$ entonces la ecuación se transforma en $\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}=z$ (y la ecuación siempre se satisface en infinito). Para $\frac{a}{d}\neq 1$ (notar que $ad=1$ ) entonces $a^{2}\neq 1$ . Además $|tr(A)|=|a+\frac{1}{a}|\geq 2$ , por lo que la ecuación tiene sólo una solución (o punto fijo) en $\partial\mathbb{H}$ si y solamente si $|tr(A)|>2$ .
Caso 2: Si $c\neq 0$ entonces la ecuación se escribe como $cz^{2}+(d-a)z-b=0$ y la cantidad de soluciones depende del discriminante. Notar que su discriminante es $|tr(A)|^{2}-4$ . Si $|tr(A)|<2$ entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas (una en $\mathbb{H}$ ), si $|tr(A)|=2$ entonces la solución es única y se encuentra en $\partial\mathbb{H}$ . Finalmente si $|tr(A)|>2$ existen exactamente dos soluciones en la frontera.

En resumen, un elemento de $PSL(2,\mathbb{R})$ no puede fijar mas de 2 puntos, de hacerlo entonces el elemento del grupo debe ser la identidad.

Definición: Sea $A\in PSL(2,\mathbb{R})$ . Decimos que $A$ es un elemento Elíptico si $|tr(A)|<2$ , en tal caso, $A$ fija un solo punto en $\mathbb{H}$ . Decimos que $A$ es un elemento Parabólico si $|tr(A)|<2$ , en tal caso $A$ fija un solo punto en $\partial\mathbb{H}$ (ojo, en este caso consideramos en la frontera a infinito). Finalmente decimos que $A$ es Hiperbólico si $|tr(A)|>2$ , o equivalentemente, si $A$ fija exactamente dos puntos en la frontera de $\mathbb{H}$ .

Observaciones: Si $A$ es parabólico, entonces el punto fijo es atractor. Si $A$ es hiperbólico entonces un punto fijo es atractor y otro es repulsor.

Recordemos que dos elementos $g,g'$ en un grupo se dicen conjugados si existe $h$ otro elemento del grupo tal que $g'=hgh^{-1}$ . Por otra parte, sabemos que $SL(2,\mathbb{R})$ actúa de manera transitiva en $\mathbb{H}$ . Esta propiedad naturalmente se mantiene en la acción de $PSL(2,\mathbb{R})$

Si $A$ elíptico, luego de conjugar, podemos suponer que $A$ fija a $i\in\mathbb{H}$ . Resolviendo le ecuación del punto fijo nos queda $(d-a)i-c-d=0$ por lo que $a=d$ y $b=-c$ . Como el determinante de la matriz es 1, entonces $a^{2}+b^{2}=1$ . Con esto se concluye que existe $\theta\in\mathbb{R}$ tal que

$A=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$

Si $A$ es parabólico, podemos suponer (salvo conjugación) que $A$ fija al infinito. Luego existe $c\neq 0$ tal que

$A=\begin{pmatrix}1& c\\ 0 &1\end{pmatrix}$

Si $A$ es hiperbólico, podemos suponer (salvo conjugación) que $A$ fija $0$ y $\infty$ . Luego es posible encontrar $\lambda>0$ tal que

$A=\begin{pmatrix}\lambda &0 \\ 0&\frac{1}{\lambda}\end{pmatrix}$

Notar que en el último caso, por conjugación por $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ podemos suponer $\lambda>1$ . Recordemos también que, de acuerdo a la métrica Riemanniana sobre el plano hiperbólico, se tiene que $i$ es enviado a $\lambda^{2}i$ por $A$

Esto quiere decir, por la fórmula encontrada de distancia, que $i$ es trasladada a distancia $2\ln(\lambda)$ por el eje imaginario. Como la acción es por isometrías, todo punto en el semiplano es trasladada a distancia $2\ln(\lambda)$ (en cualquier dirección, no necesariamente vertical). Definimos entonces $L_{A}=2\ln(\lambda)$ como la distancia de desplazamiento de $A$ . Esto quiere decir que un elemento hiperbólico arbitrario $A$ es siempre conjugado a

$\begin{pmatrix}e^{L_{A}/2}&{0}\\{0}&e^{-L_{A}/2}\end{pmatrix}$ .

Finalmente, si conjugamos por el elemento $\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ nos queda

$\begin{pmatrix}\cosh(L_{A}/2)&\sinh(L_{A}/2)\\\sinh(L_{A}/2)&\cosh(L_{A}/2)\end{pmatrix}$

y en tal caso el punto fijo atractivo es 1, y el repulsivo es -1.

Un problema estándar en variable compleja

3 abril, 2013 de Felipe Riquelme

Suponga que $p(z)\in\mathbb{C}[z]$ tal que todas sus raíces se encuentran en el semiplano superior $\mathbb{H}$ . Demuestre que las raíces de $p'(z)$ también están en este semiplano.

Solución:

Suponga que $p(z)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}$ y que las raices son $\{z_{1},...,z_{n}\}$ (pudiendo éstas repetirse). Entonces

$p(z)=a_{n}\prod_{i=1}^{n}(z-z_{i})$ .

Si derivamos $p(z)$ nos queda $p'(z)=a_{n}\sum_{i=1}^{n}\prod_{k\neq i}(z-z_{i})$ por lo que

$\frac{p'(z)}{p(z)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{z-z_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\bar{z}-\bar{z_{i}}}{|z-z_{i}|^{2}}$ .

Por otro lado, si $w=a+ib$ es raiz de $p'(z)$ en el semiplano inferior (incluyendo el eje real), entonces $\frac{p'(z)}{p(z)}$ esta bien definida en $w$ y satisface

$\frac{p'(w)}{p(w)}=0$

Escribiendo $z_{k}=u_{k}+iv_{k}$ , lo anterior se reduce a

$\sum_{k=1}^{n}\frac{(a-u_{k})+i(v_{k}-b)}{|w-z_{k}|^{2}}=0$

Pero cada número complejo en la suma anterior pertenece al semiplano superior pues $v_{k}>0$ para todo $k$ y $b\leq 0$ por lo que $-b\geq 0$ . Esta es una contradicción pues la suma de complejos con parte imaginaria estrictamente positiva no puede ser nula. Esta contradicción viene del suponer que una raíz de $p'(z)$ tiene parte imaginaria no positiva, y por lo tanto, todas las raíces de $p'(z)$ deben pertenecer al semiplano superior.

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte II)

2 abril, 2013 de Felipe Riquelme

A lo largo de este post trabajaremos principalmente en el modelo del semi plano de Poincaré, es decir sobre

$\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\textmd{ }|\textmd{ }Im(z)>0\}$ .

En nuestra primera parte (Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte I)) definimos lo que era una métrica Riemanniana, por lo que para definir la geometría hiperbólica nos centraremos en el estudio de una nueva métrica, conocida como la Métrica Hiperbólica del modelo del semi-plano de Poincaré.

Sobre el fibrado tangente de $\mathbb{H}$ definimos la métrica dada por

$ds^{2}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}$ .

Observaciones:

Un resultado clásico en este tipo de geometría es que dado dos puntos siempre existe una curva que los une y que minimiza distancias. Las llamamos curvas geodésicas.
Para una curva parametrizada $\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{H}$ , escrita por $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$ , el largo de ella esta dado por

$L(\gamma)=\int_{a}^{b}\frac{|\gamma'(t)|}{y(t)}dt$

Proposición: Las curvas geodésicas son segmentos de arcos, los cuales, o bien son rectas verticales, o bien son semi-arcos de circunferencias ortogonales al eje real.

Demostración:

Consideremos primero $z_{1}=x+iy_{1}$ y $z_{2}=x+iy_{2}$ (es decir puntos que pertenecen a la misma vertical), ambos del semi plano, y tales que $y_{2}>y_{1}$ .

Escribimos $\gamma:[y_{1},y_{2}]\rightarrow\mathbb{H}$ por $\gamma(t)=x+it$ . Entonces

$L(\gamma)=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{dt}{t}=\ln(\frac{y_{2}}{y_{1}})$

Naturalmente uno tiene que para toda curva $\delta:[a,b]\rightarrow\mathbb{H}$ , lo siguiente

$L(\delta)=\int_{a}^{b}\frac{|\delta'(t)|}{y(t)}dt\geq\int_{a}^{b}\frac{y'(t)}{y(t)}dt=\ln(\frac{\gamma(b)}{\gamma(a)})$

por lo que nuestra curva $\gamma$ es minimizante (y es un segmento de recta vertical).

Para estudiar el otro caso nos enfocaremos en una de las herramientas más útiles en esta geometría.

Definición: Definimos el grupo multiplicativo $SL(2,\mathbb{R})$ como las matrices de determinante igual a 1 a coeficientes reales.

Lo interesante de este grupo es que actúa sobre el hiperplano hiperbólico. En efecto, definimos la acción de grupo sobre $\mathbb{H}$ como sigue. Sea $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb{R})$ , entonces

$A\cdot z=A(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

Además $A'(z)=\frac{a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}=\frac{1}{(cz+d)^{2}}$ y

$A(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{(az+b)(c\bar{z}+d)}{|cz+d|^{2}}=\frac{ac|z|^{2}+bd+adz+bc\bar{z}}{|cz+d|^{2}}$

por lo que $Im(A(z))=\frac{Im(z)}{|cz+d|^{2}}$ . Esta última igualdad es demasiado importante, nos dice que la acción de grupo está bien definida porque deja al semi-plano invariante.

Notemos además que por lo anteriormente mostrado, $ds^{2}=\frac{|dz|^{2}}{y^{2}}$ y luego, para $w=A(z)$ se tiene

$ds^{2}=\frac{|dw|^{2}}{Im(w)^{2}}=\frac{|dz|^{2}}{|cz+d|^{4}}/\frac{Im(z)^{2}}{|cz+d|^{4}}=\frac{|dz|^{2}}{Im(z)^{2}}$ .

Este es un segundo punto sumamente importante, la acción del grupo deja invariante la métrica, esto es lo mismo que decir que el grupo $SL(2,\mathbb{R})$ actúa sobre $\mathbb{H}$ por isometrías.

Una última observación debe ser hecha, la acción del grupo es transitiva. Esto quiere decir que para todos $z,w\in\mathbb{H}$ existe $g\in SL(2,\mathbb{R})$ tal que $g(z)=w$ . Además, la matriz dada por

$R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\-\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb{R})$

actúa por rotación en ángulo $\theta$ con centro en $i$ (punto que mostraremos un próximo post).

Continuación demostración:

Para dos puntos cualesquiera $z,w\in\mathbb{H}$ aplicamos una isometría (dada por la acción de grupo) que envíe $z\rightarrow i$ . Luego la imagen de $w$ por esta isometría es algún punto en el semi-plano. Aplicando una rotación $R_{\theta}$ podemos enviar a $w$ sobre el eje imaginario. De esta forma los puntos imágenes de $z,w$ , luego de componer estas isometrías, pertenecen al eje imaginario y el segmento geodésico que los une pertenece completamente a tal eje. Un simple cálculo muestra que este grupo envía el eje imaginario a rectas verticales o a semicircunferencias que cortan perpendicularmente al eje real. Finalmente las isometrías satisfacen que las geodésicas son enviadas en geodésicas, lo que implica el resultado.

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Shift Unilateral

1 abril, 2013 de Felipe Riquelme

Sea $A$ un conjunto finito de cardinal $p\geq 2$ (también llamado alfabeto). Denotamos por $X=A^{\mathbb{N}}$ al conjunto de sucesiones de $A$ . Es decir

$X=\{(x_{n})_{n\geq 0}|x_{n}\in A\textmd{ },\textmd{ }\forall n\geq 0\}$

Para $x,y\in X$ definimos $N(x,y)$ como el primer entero no negativo tal que $x_{n}\neq y_{n}$ . Fijamos $\alpha\in(0,1)$ y definimos para cada par $x,y\in X$

$d(x,y)=\alpha^{N(x,y)}$ si $x\neq y$

$d(x,y)=0$ si $x=y$

Entonces $(X,d)$ es un espacio métrico. En efecto, es claro que $N(x,y)=N(y,x)$ para todo para $x,y\in X$ , por lo que $d$ es simétrica. Ademas $d(x,y)\geq 0$ y la igualdad se alcanza solo para $x=y$ . Basta mostrar la desigualdad triangular. Pero notemos que, si $x,y,z\in X$ y $N(x,z)\leq N(z,y)$ , entonces para todo $0\leq n\leq N(x,z)$ se tiene $x_{n}=z_{n}=y_{n}$ y por lo tanto $N(x,y)\geq N(x,z)$ por lo que $d(x,y)\leq d(x,z)$ y claramente $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ . Analogamente podemos mostrar que se tiene lo mismo en el caso $N(z,y)\leq N(x,z)$ y por lo tanto se concluye la desigualdad triangular.

Ya que $(X,d)$ es un espacio métrico, la distancia define una topología. Nos gustaría conocer mas a fondo nuestros abiertos de la base. Para esto consideremos $w=(w_{0},...,w_{m-1})$ una palabra de largo $m$ y un entero $n_{0}\geq 0$ . Definimos un cilindro con base $w$ en $n_{0}$ como

$C_{w}^{n_{0}}=\{x=(x_{n})_{n\geq 0}\in X\textmd{ }|\textmd{ }x_{n+n_{0}}=w_{n}\textmd{ para todo }n\in\{0,...,m-1\}\}$

es decir, el conjunto de todas las palabras que contienen la palabra $w$ empezando en la posición $n_{0}$ .

Proposición: Los abiertos de $(X,d)$ son uniones de cilindros.

Demostración:

De partida, todo cilindro es abierto pues para $N=n_{0}+m-1$ se tiene

$x\in C_{w}^{n_{0}}$ y $N(x,y)>N$ implica $y\in C_{w}^{n_{0}}$

por lo que $B(x,\alpha^{N})\subset C_{w}^{n_{0}}$ .

Recíprocamente, para cada $x\in X$ , $N\geq 0$ , se satisface $B(x,\alpha^{N})=C_{w}^{0}$ para $w=\{x_{0},...,x_{N}\}$ .

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Observaciones:

Notar que $(x^{m})_{m\geq 0}$ converge a $x$ si para cada $N>0$ existe $M\geq 0$ tal que $x_{n}^{m}=x_{n}$ para $n\leq N$ y $m\geq M$ .
Los cilindros son numerables y forman una base para la topología, esto implica que $X$ es separable.
La primera observación implica que los cilindros son cerrados, asi $X$ es un espacio totalmente discontinuo (los únicos subconjuntos conexos son los singleton).
$X$ no tiene puntos aislados.

Las observaciones anteriores permiten mostrar un resultado bastante curioso para este tipo de conjuntos si lograsemos mostrar que $X$ es compacto. $X$ es un conjunto de cantor.

Teorema: Los espacios topológicos compactos, totalmente discontinuos y sin puntos aislados son homeomorfos entre si. Estos se llaman Conjuntos de Cantor.

No daremos una demostración de lo anterior, pero si de lo siguiente…

Proposición: $X$ es compacto

Demostración 1:

Por las observaciones es posible probar que la topología en $X$ es la topología producto, para el producto numerable $A^{\mathbb{N}}$ . Basta considerar la topología discreta en $A$ (lo que hace que $A$ sea compacto) y notar que los cilindros son justamente los abiertos basales definidos por la topología producto. El teorema de Tychonov (producto arbitrario de conjuntos compactos es compacto) concluye el teorema.

Demostración 2:

Consideremos $(x^{m})_{m\geq 0}$ una sucesión de elementos en $X$ . Mostrar la compacidad es justamente encontrar una subsucesión convergente en $X$ . Como el alfabeto $A$ es finito y nuestra sucesión es infinita, existe $x_{0}$ y una función de índices estrictamente creciente $\phi_{0}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $x_{0}^{\phi_{0}(m)}=x_{0}$ para cada $m\geq 0$ . Así mismo, existe $x_{1}$ y una función $\phi_{1}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $x_{1}^{\phi_{0}\circ\phi_{1}(m)}=x_{1}$ para cada $m\geq 0$ . Recursivamente entonces, existe una sucesión $x=(x_{n})_{n\geq 0}$ y una sucesión de funciones $\phi_{n}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $x_{n}^{\phi_{0}\circ\phi_{1}\circ...\circ\phi_{n}(m)}=x_{n}$ para todo $m\geq 0$ . Consideramos entonces la función $\phi:m\mapsto\phi_{0}\circ\phi_{1}\circ...\circ\phi_{m}(m)$ la cual es estrictamente creciente y satisface $(x^{\phi(m)})_{m\geq 0}$ converge a $x$ .

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Finalmente definimos el Shift

Proposición: La aplicación $\sigma:X\rightarrow X$ definida por $(x_{n})_{n\geq 0}\mapsto(x_{n+1})_{n\geq 0}$ es continua. Uno la llama el Shift unilateral.

Demostración:

Notar que si $x,y\in X$ y $N(x,y)\geq N$ entonces $N(\sigma(x),\sigma(y))\geq N-1$ . Sea $\varepsilon>0$ y consideremos $N\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha^{N-1}<\varepsilon$ . Basta escoger $\delta=\alpha^{N}$ y se tiene la continuidad.