Desigualdades | Sea epsilon...

Sea $(a_{n})_{\mathbb{N}}$ una sucesión de números reales. Demuestre que $x$ es un punto de acumulación de $(a_{n})_{\mathbb{N}}$ sí y sólo sí $(a_{n})_{\mathbb{N}}$ tiene una subsucesión $(a_{\phi(n)})_{\mathbb{N}}$ tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{\phi(n)}=x$ . Demuestre además que el límite superior de una sucesión es el mayor de sus puntos de acumulación.

Recordemos que $x$ es un punto de acumulación sí y sólo sí para todo $\varepsilon>0$ el conjunto $\{k\in\mathbb{N}:|x-a_{k}|<\varepsilon\}$ es infinito.

Sea entonces $\varepsilon_{n}=\frac{1}{n}$ , luego existe $N(n)\in\mathbb{N}$ tal que $|x-a_{N(n)}|<\varepsilon_{n}$ . Como $\{k\in\mathbb{N}:|x-a_{k}|<\varepsilon_{n}\}$ es infinito, podemos escoger los naturales $N(n)$ de manera estrictamente creciente. Es decir, para $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ , definida por $n\mapsto N(n)$ , nos queda

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{\phi(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{N(n)}=x$

por construcción.

Observación: Para cada $\varepsilon>0$ existe $k$ natural tal que si $n>k$ entonces $\frac{1}{n}<\varepsilon$ . En el caso anterior esto implica que $|x-a_{\phi(n)}|<\varepsilon$ para $n>k$ . De ahí la convergencia de la subsucesión.

Para el recíproco, basta notar que por definición de límite, la existecia de una subsucesión $(a_{\phi(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ implica que para cada $\varepsilon$ el conjunto $\{k\in\mathbb{N}:|x-a_{k}|<\varepsilon\}$ es infinito pues en particular todos los naturales $k=\phi(n)$ pertenecen a dicho conjunto para $n\geq N\in\mathbb{N}$ (cuya existencia proviene de la subsucesión convergente).

Para el segundo problema, nuevamente consideramos $x$ punto de acumulación, y sea $(a_{\phi(n)})$ convergente a $x$ . Recordemos que

$\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\{a_{n},a_{n+1},...\}$

Como $\phi$ es función creciente tal que $\phi(n)\geq n$ , se concluye

$a_{\phi(n)}\leq\sup\{a_{n},a_{n+1},...\}$

Y luego aplicando límite en ambos lados (y como ambas sucesiones son convergentes!) se concluye que $x\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}$ . Por arbitrariedad de $x$ se tiene que el límite superior es el mayor de los puntos de acumulación.