El Teorema de Oseledets

de

En teoría ergódica diferenciable uno se interesa fundamentalmente en el estudio local de un sistema dinámico a través de una linearización adecuada del sistema. Una vez que estudiamos transformaciones diferenciables definidas en variedades Riemannianas (muchas veces tales transformaciones se consideran con singularidades en conjuntos razonables), uno puede reducir el estudio del sistema usando la linearización natural que proviene de la diferencial de la transformación definida en el fibrado tangente. El teorema de Oseledets es una herramienta increiblemente potente en este ámbito, y ha permitido desarrollar una inmensa teoría como consecuencia.

En palabras sencillas, el teorema de Oseledets nos entrega información precisa de la dinámica. Particularmente nos habla de la existencia de subespacios vectoriales en «casi todo» plano tangente a la variedad, sobre los cuales la diferencial se comporta (exponencialmente a lo largo de las órbitas) de manera dilatante, contractante  o sin comportamiento exponencial (lo cual es bastante útil cuando estudiamos por ejemplo la entropía). En lenguaje puramente matemático el enunciado es el siguiente

Teorema (Oseledets). Sea f:M\rightarrow M un difeomorfismo de clase C^{1}  definido en una variedad Riemanniana M. Sea \mu una medida boreliana de probabilidad en M y supongamos que \log^{\pm}\|df\|\in\mathscr{L}^{1}(M,\mu). Entonces, para \mu– casi todo x\in M

  • Existen constantes reales \lambda_{1}(x)>...>\lambda_{r(x)}(x);
  • Existen subespacios vectoriales E_{1}(x),...,E_{r(x)}(x) de T_{x}M

tales que

T_{x}M=\bigoplus_{i=1}^{r(x)}E_{i}(x)

los espacios E_{i}(x) son estables por la diferencial, es decir 

d_{x}f(E_{i}(x))=E_{i}(f(x))

y

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\|d_{x}f^{n}(v)\|=\lambda_{i}(x) para todo v\in E_{i}(x), 1\leq i\leq r(x).

Más aún, las aplicaciones x\mapsto r(x), x\mapsto \lambda_{i}(x), x\mapsto dim(E_{i}(x)) son medibles. La propiedad de estabilidad por la diferencial implica que tales aplicaciones son también invariantes por f. En el caso particular de \mu medida ergódica, las aplicaciones son constantes \mu– casi todas partes.

 

Definicion: Los valores \{\lambda_{i}(x)\} son llamados Exponentes de Lyapunov y los espacios  \{E_{i}(x)\} son llamados Espacios Característicos.

Un ejemplo en el cual podemos encontrar concretamente los exponentes de Lyapunov y los espacios característicos son los automorphismos del toro. Aquellos estan definidos en su espacio de cubrimiento universal por una matriz invertible a valores enteros (cuya inversa satisface lo mismo). Los exponentes de Lyapunov corresponden a los logaritmos de los valores propios de la matriz, y los espacios característicos corresponden a las proyecciones sobre el toro de los espacios propios de la matriz.

2 pensamientos en “El Teorema de Oseledets”

  1. Buen día, primero felicitarle por la difusión. Estoy iniciándome en Teoría Ergódica y este Teorema en particular me parece muy interesante, al respecto tengo dos dudas: partiendo del caso discreto se podría dar una prueba para el tiempo continuo? Podría adaptarse el teorema al caso en el cual la variedad M tuviese dimensión infinita ? Agradezco desde ya, cualquier referencia al respecto, saludos.

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    • Hola, muchas gracias por tu interés. Para responder a tu primera pregunta debo decir que debiera funcionar la misma prueba para tiempo continuo, quizas uno podria agregar alguna hipotesis respecto a como se integra en el tiempo, no solo en el espacio. No estoy muy seguro pues no he leido demostraciones de eso, pero sé que existe. En cuanto a la segunda pregunta, sé que hay gente que trabaja con exponentes de Lyapunov en espacios de dimension infinita, imagino que a priori uno no tendria gran control sobre los espacios caracteristicos, ya sea por la dimension u otras cosas.

      Interesantes preguntas pero lamento no tener respuestas concretas. Si me da el tiempo buscaré referencias, pues sé que hay gente que ha trabajado en aquello.

      Saludos!

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