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Un problema sobre convergencias

de

Definición: Un conjunto I\subset\mathbb{N} se dice de densidad cero si

\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sharp(I\cap\{0,...,n-1\})}{n}=0.

Si consideramos ahora una sucesión \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} de números reales, acotada, nos podemos preguntar si existe un subconjunto I\subset\mathbb{N} de densidad cero tal que el límite

\lim_{n\not\in I}a_{n}

existe.

En el caso particular cuando \lim_{n\not\in I}a_{n}=0 para algún conjunto I se tiene una caracterización bastante interesante.

 

Proposición: Para \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} como antes, las afirmaciones siguientes son equivalentes

  1. \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|a_{i}|=0
  2. Existe I\subset\mathbb{N} de densidad cero tal que \lim_{n\not\in I}a_{n}=0.

Notación: Denotamos \delta(I)=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sharp(I\cap\{0,...,n-1\})}{n}, \delta_{n}(I)=\dfrac{\sharp(I\cap\{0,...,n-1\})}{n} y C(I,n)=\sharp(I\cap\{0,...,n-1\}).

 

Para mostrar que (1) implica (2), consideramos un entero k\geq 1 y el conjunto

I_{k}=\{n\geq 0:|a_{n}|\geq\frac{1}{k}\},

entonces dicho conjunto es de densidad cero pues

\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|a_{i}|\geq\frac{1}{n}\sum_{i=0,i\in I_{k}}^{n-1}|a_{i}|\geq\frac{1}{k}\delta_{n}(I_{k})

y por lo tanto, como el término de la izquierda tiende a cero, el de la derecha también cuando n tiende a infinito.

Hasta ahora tenemos lo siguiente, para cada k\geq 0 y para cada \varepsilon>0 existe N(k,\varepsilon)\in\mathbb{N} tal que si n>N(k,\varepsilon) entonces \delta_{n}(I_{k})<\varepsilon. Por lo tanto, si escogemos \varepsilon=\frac{1}{k}, podemos escoger un entero N(k)>0 tal que \delta_{n}(I_{k})<\frac{1}{k} para n>N(k). Mas aún, podemos escoger los términos N(k) de modo que sean estrictamente crecientes. Escribimos en tal caso \{n_{k}=N(k)\}_{k} una sucesión estrictamente creciente de números naturales con la propiedad siguiente: Para todo n>n_{k} se tiene

\delta_{n}(I_{k})<\frac{1}{k}.

Escribimos I=\bigcup_{k\geq 0}(I_{k+1}\cap\{n_{k},...,n_{k+1}-1\}). Entonces para cada n\in\{n_{k},...,n_{k+1}-1\} se tiene

I\cap\{0,...,n-1\}\subset I_{k+1}\cap\{0,...,n-1\}

y luego al considerar la cardinalidad de tales conjuntos y dividir por n, nos queda

\delta_{n}(I)\leq\delta_{n}(I_{k+1})\leq\frac{1}{k+1}

de donde, haciendo tender k a infinito (y por lo tanto n también), resulta que

\lim_{n\rightarrow\infty}\delta_{n}(I)=0.

Finalmente si n\geq n_{k} no pertenece a I, entonces n no pertenece a I_{k+1} y por lo tanto |a_{n}|<\frac{1}{k+1}, de donde se concluye que \lim_{n\not\in I}a_{n}=0.

Para el recíproco ((2) implica (1)), consideramos K>0 una cota superior de \{|a_{n}|\}_{n\geq 0}. Para cada \varepsilon>0 existe N(\varepsilon) tal que si n>N(\varepsilon) entonces C(I,n)<\varepsilon n y además |a_{n}|<\varepsilon si n\not\in I. Se deduce entonces que para cada n>\max\{N(\varepsilon),\frac{KN(\varepsilon)}{\varepsilon}\}

\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|a_{i}|=\frac{1}{n}[\sum_{i\in I}^{n-1}|a_{i}|+\sum_{i<N(\varepsilon),i\not\in I}^{n-1}|a_{i}|+\sum_{N(\varepsilon)\leq i<n,i\not\in I}^{n-1}|a_{i}|]

\leq\frac{KC(I,n)}{n}+\frac{KN(\varepsilon)}{n}+\varepsilon\leq(K+2)\varepsilon

lo que concluye la demostración.