Archivo de la categoría: Funciones

Una Propiedad Exponencial

de

Sea f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una función continua tal que

f(x+y)=f(x)f(y) para todos x,y\in\mathbb{R}

entonces f\equiv 0 o f(x)=a^{x} para algún a\in\mathbb{R}^{+}.

En efecto, lo primero que debemos notar es que o bien f(0)=0 o bien f(0)=1, para mostrarlo es suficiente escribir f(0)=f(0+0)=f(0)^{2} lo que implica el resultado. Si f(0)=0 entonces f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 para cada x\in\mathbb{R}. Si no, entonces f(0)=1 y f(1)=f(\frac{1}{n}\cdot n)=f(\frac{1}{n})^{n}, lo que implica que f(1)>0 pues para n suficientemente grande, f(1/n)>0 por continuidad en el origen. Es fácil ver también que lo último implica que f(x)>0 para cada x\in\mathbb{R}.

Observemos ahora que en cada conjunto compacto (cerrado y acotado) la función es Riemann integrable por continuidad, por lo tanto

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{kx}{n}\right)\frac{x}{n}}

Por otro lado, para todo n natural y y\in\mathbb{R}, f(ny)=f(y)^{n} y f(y/n)=f(y)^{1/n}, de donde

\displaystyle{f\left(\frac{kx}{n}\right)=f(x)^{\frac{k}{n}}}

Lo que implica

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x)^{\frac{k}{n}}}

y luego la suma geométrica nos entrega

\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\frac{f(x)-1}{f(x)^{1/n}-1}}.

Recordemos ahora que \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}n(y^{1/n}-1)} para cada y\in\mathbb{R}^{+}, entonces

\int_{0}^{x}f(t)dt=\dfrac{x(f(x)-1)}{\log{f(x)}}.

En el caso particular de $x=n$ obtenemos $f(n)=f(1)^{n}$ y por lo tanto

\int_{0}^{n}f(t)dt=\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}.

Por otro lado un simple cambio de variables implica

\int_{x}^{x+n}f(t)dt=\int_{0}^{n}f(t+x)dt=f(x)\int_{0}^{n}f(t)dt

por lo que si derivamos respecto a x, nos queda

f(x+n)-f(x)=\frac{df}{dx}(x)\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}},

pero  f(x+n)-f(x)=f(x)(f(n)-1), entonces

f(x)\log{f(1)}=\frac{df}{dx}(x).

Basta considerar a=f(1) y resolver la ecuación diferencial para concluir que f(x)=a^{x}.

Otra forma de resolver el problema es una perspectiva de la densidad. En efecto, si dos funciones f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} continuas coinciden en un conjunto denso, entonces las funciones coinciden en toda la recta real. Para ello basta considerar un punto arbitrario y estudiar la convergencia a tal punto por sucesiones del conjunto denso, los límites deben ser iguales al evaluar en cada función. Finalmente, para cada p,q\in\mathbb{Q}, con q\neq 0, entonces f(p/q)=f(1)^{p/q}. Es decir, para a=f(1), las funciones f(x) y g(x)=a^{x} coinciden sobre \mathbb{Q}. Nuestra primera observación en este párrafo concluye el resultado.

Sobre continuidad y continuidad uniforme

de

Recordemos que en \mathbb{R} los conjuntos compactos son aquellos cerrados y acotados. Estos tienen otra caracterización dada por el hecho de que toda sucesión en un tal conjunto contiene una subsucesión convergente (que converge en el conjunto).

Consideremos entonces I=[a,b]\subset\mathbb{R}, el cual es un conjunto compacto. En este post daremos una propiedad de las funciones continuas sobre este tipo de intervalos que trae consecuencias potentes en su estudio. En un futuro post daremos una de estas consecuencias en detalle.

Recuerdo: Una función continua f:U\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} se dice Uniformemente Continua si para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que para todos x,y\in U se tiene

|x-y|<\delta  \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon

Es sumamente importante darse cuenta de la diferencia con la continuidad. En estricto rigor la continuidad de una función nos dice que \delta existe y depende del punto (en el que evaluamos la continuidad) y de \varepsilon. Según nuestra definición de continuidad uniforme, tal \delta no depende del punto en cuestión. Podemos decir de manera poco formal que nuestro \delta sirve en cada punto, es uniforme en el conjunto U (¡de ahí el nombre de la continuidad!).

Un ejemplo de función continua y no uniformemente continua es f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R} definida por f(x)=\frac{1}{x} (¡Compruébenlo!).

 

Proposición: Sea f:I\rightarrow\mathbb{R} continua. Entonces f es uniformemente continua.

Demostración:

El método de la prueba es por contradicción, es decir, supondremos que nuestra función es continua pero no uniformemente continua. En algún momento llegaremos a una contradicción con alguna hipótesis. El punto crucial en la demostración es la estructura topológica de nuestro dominio: I es un compacto.

En lenguaje matemático formal, la continuidad uniforme es equivalente a

\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 tales que \forall x,y\in I se tiene

|x-y|<\delta  \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon

si negamos toda esta oración, nos queda

\exists\varepsilon_{0}>0 tal que \forall\delta>0 existen x_{\delta},y_{\delta}\in I que satisfacen

|x_{\delta}-y_{\delta}|<\delta y |f(x_{\delta})-f(y_{\delta})|\geq\varepsilon_{0}.

En particular, para \delta_{n}=\frac{1}{n}, existen x_{n},y_{n}\in I con la propiedad anterior.

Ahora usaremos la compacidad, \{x_{n}\}_{n} es una sucesión en un conjunto compacto, por lo tanto contiene una subsucesión convergente. Por simplicidad de notación supondremos entonces, sin perder la generalidad, que \{x_{n}\}_{n} es convergente, digamos que converge a x_{0}\in I. Notar que

|x_{0}-y_{n}|\leq|x_{0}-x_{n}|+|x_{n}-y_{n}|<|x_{0}-x_{n}|+\delta_{n}

y ya que ambos términos a la derecha tienden a 0 se tiene que \{y_{n}\}_{n} es convergente y converge a x_{0}.

Por último, la función es continua, por lo que en particular es continua en x_{0}, es decir, para todo \varepsilon>0 existe \delta tal que |x-x_{0}|<\delta implica |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon. Escogemos \varepsilon=\frac{\varepsilon_{0}}{2} y luego existe un \delta_{0} con la propiedad de la definición de continuidad. Ya que tanto \{x_{n}\} como \{y_{n}\} convergen a x_{0} se tiene que desde n suficientemente grande,

x_{n}\in B(x_{0},\delta_{0}) y y_{n}\in B(x_{0},\delta_{0})

y luego (para n suficientemente grande)

|f(x_{n})-f(y_{n})|\leq|f(x_{n})-f(y_{0})|+|f(x_{0})-f(y_{n})|<\frac{\varepsilon_{0}}{2}+\frac{\varepsilon_{0}}{2}=\varepsilon_{0}

es decir

|f(x_{n})-f(y_{n})|<\varepsilon_{0}

pero nuestra hipótesis era justamente que para tales sucesiones |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq\varepsilon_{0}. Hemos llegado a un absurdo.

Esto muestra que una función continua definida en un intervalo compacto debe ser uniformemente continua.

\blacksquare

Un problema de continuidad

de

Consideremos la función f:[0,1]\rightarrow[0,1] definida por f(x)=0 para x\in[0,1]\setminus(\mathbb{Q}\setminus\{0\}) y f(x)=\frac{1}{q} para x=\frac{p}{q} donde p,q son enteros primos relativos no negativos (q\neq 0).

fonction1

Afirmación: f es continua en los irracionales y discontinua en los racionales (distintos de cero).

La discontinuidad en los racionales no es difícil de ver; para todo racional no nulo x_{0}=\frac{p}{q} en su forma irreductible, existe una sucesión de irracionales \{x_{n}\}_{n\geq 1} convergente a x_{0}. Notar entonces que f(x_{0})=\frac{1}{q} mientras que f(x_{n})=0 para todo n\geq 1, lo que muestra la discontinuidad en x_{0}.

Si x_{0}=0, debemos probar que para toda sucesión \{x_{n}\}_{n\geq 1} convergente a x_{0}, se tiene f(x_{n}) converge al origen. Hay tres casos por estudiar para una tal sucesión. Si todos los términos de la sucesión son irracionales, no hay nada que probar pues f(x_{n})=0 para todos los términos. Si todos son racionales, entonces son de la forma x_{n}=\frac{p_{n}}{q_{n}}, todos en su forma irreducible. Como la sucesión converge a cero, entonces cualquier sucesión de términos no negativos \{y_{n}\}_{n\geq 1} tal que y_{n}\leq x_{n} también converge a cero. Basta considerar entonces y_{n}=f(x_{n})=\frac{1}{q_{n}}\leq x_{n}. Por último si la sucesión contiene términos racionales e irracionales, entonces contiene o infinitos racionales o infinitos racionales (pudiendo ser ambas). Luego, si hay infinitos irracionales y finitos racionales existe una subsucesión \{x_{n_{k}}\}_{k} que contiene a todos los irracionales. Por el primer caso esta sucesión satisface que la sucesión de imágenes converge al origen, y ya que la sucesión \{x_{n}\}_{n} solo contiene finitos racionales se concluye que la sucesión de imágenes \{f(x_{n})\}_{n} converge también al origen. Naturalmente si hay finitos irracionales en la sucesión, el argumento es el mismo. Basta considerar el caso en que la sucesión contiene infinitos racionales e irracionales. Como antes consideramos la subsucesion \{x_{n_{k}}\}_{k} que contiene a todos los irracionales y la subsucesion \{x_{m_{k}}\}_{k} que contiene a todos los racionales. Ambas sucesiones satisfacen que sus imagenes por f convergen al mismo límite y forman una partición de la sucesión \{f(x_{n})\}_{n}, luego esta última debe converger al origen. (Ver Sobre Subsucesiones II)

Queda mostrar la continuidad en los irracionales…

Recuerdo: Una función f:U\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} es continua en x_{0}\in U si y sólo si para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que

|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon

Sea x_{0} irracional y \varepsilon>0. Por propiedad Arquimediana existe q\in\mathbb{N} tal que \frac{1}{q}<\varepsilon. Notemos entonces que para todo x irracional |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon pues |f(x)-f(x_{0})|=|0-0|=0. Ademas, existe una cantidad finita de racionales que satisfacen f(x)\geq\frac{1}{q}; en efecto, estos racionales deben ser (en su forma irreductible) a lo más de la forma x_{i,j}=\frac{i}{j} con 1\leq j\leq q , 1\leq i\leq q, pues f(x_{i,j})\geq\frac{1}{q} y cualquier otro racional irreductible \frac{r}{s} que satisfaga f(\frac{r}{s})\geq\frac{1}{q} debe satisfacer s\leq q y por tanto 0\leq r\leq s\leq q. Llamamos R al conjunto de todos los racionales x\in[0,1] que satisfacen f(x)\geq\frac{1}{q}. Al ser finito es un conjunto cerrado y claramente x_{0} no pertenece al conjunto. Por lo tanto la distancia de x_{0} a R, definida como d(x_{0},R)=\min\{d(x_{0},x):x\in R\} es estrictamente positiva. Definimos entonces \delta=d(x_{0},R). Tal \delta sirve pues para todo racional x\in B(x_{0},\delta), x\not\in R y por lo tanto f(x)<\frac{1}{q}\leq\varepsilon. Esto es exactamente la afirmación de continuidad (que faltaba solo para los racionales).

\blacksquare

Conexidad

de

La conexidad es una propiedad topológica de los conjuntos, es decir, su definición depende exclusivamente de los subconjuntos abiertos del espacio base. Recordemos que sobre el espacio euclideano n-dimensional se tienen abiertos «base», estas son las bolas (ya estudiadas bastante en este blog) que son de la forma

B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^{n}:\|y-x\|<r\}

donde x\in\mathbb{R}^{n} y r>0 es un real positivo. Hemos visto que un conjunto abierto del espacio euclideano se caracteriza por la propiedad de que en cada punto existe una bola centrada en dicho punto, totalmente contenida en el conjunto.

Ahora veamos la definición de conexidad

Definición: Un conjunto X\subset\mathbb{R}^{n} se dice conexo si no existen abiertos A,B\subset\mathbb{R}^{n} disjuntos tal que X\subset(A\cup B), X\cap A\neq\emptyset y  X\cap B\neq\emptyset.

En palabras simples, un conjunto conexo es aquel que no se puede separar por abiertos.

Ejemplos:

  • \mathbb{R}^{n} es conexo. En efecto, supongamos que no es conexo, luego existen abiertos A,B disjuntos, no vacíos, que satisfacen \mathbb{R}^{n}=A\cup B. Al ser cada uno no vacío se tiene que existe a\in A y b\in B, de donde podemos considerar la curva que los une dada por \gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^{n}, definida por \gamma(t)=bt+(1-t)a. Sea entonces s\in[0,1] tal que s=\sup\{t\in[0,1]:\gamma(t)\in A\}. La pregunta es… ¿\gamma(s)\in A o \gamma(s)\in B? Si estuviera en A, entonces como A es abierto se tiene que existe una bola en torno a \gamma(s), B(\gamma(s),r), totalmente contenida en A, lo que implica (por continuidad de la curva), que existen valores de t, arbitrariamente cerca (y mayores) de s tal que \gamma(t)\in A, lo que contradice que s es el supremo escogido. De manera análoga podemos mostrar que \gamma(s) no puede estar en B. Esto es una contradicción, y por lo tanto \mathbb{R}^{n} es conexo.
  • Un intervalo de la forma (a,b) es conexo, la demostración es análoga a la anterior.
  • Otro ejemplo, algo trivial, es considerar X=\{0,1\} con la topología discreta, es decir, los abiertos de X son \emptyset,\{0\},\{1\},X. En tal caso X no es conexo pues puedo escribirlo como la unión de los abiertos no vacíos y disjuntos \{0\},\{1\}.

Conex

De inmediato podemos encontrar una caracterización bonita e interesante de los conjuntos conexos.

Proposición: Sea X\subset\mathbb{R}^{n} un subconjunto abierto del espacio euclideano. Entonces X es conexo si, y solamente si, no existe función continua f:X\rightarrow\{0,1\} sobreyectiva.

Observación: Aquí dotamos a \{0,1\} de la topología discreta.

Demostración:

Si X no es conexo, entonces podemos encontrar conjuntos abiertos A,B disjuntos, tales que A\cap X\neq\emptyset, B\cap X\neq\emptyset y X=A\cup B. Definimos entonces la función $latex f:X\rightarrow\{0,1\}$ por f(x)=0 para x\in(A\cap X) y f(x)=1 para x\in(B\cap X). Ya que A y B son disjuntos, no hay problemas con la definición de f, la función es sobreyectiva pues tanto A\cap X como B\cap X son no vacíos, y la continuidad proviene del hecho de que la preimagen de abiertos es abierto (ver post), en efecto, f^{-1}(\{0\})=X\cap A, el cual es abierto, y f^{-1}(\{1\})=X\cap B el cual también es abierto.

Por otro lado si existiese una función f:X\rightarrow\{0,1\} sobreyectiva y continua, entonces podemos escribir X=f^{-1}(\{0\})\cup f^{-1}(\{1\}), es decir, como unión de abiertos disjuntos no vacíos. Lo que implica que X no es conexo.

Naturalmente, estas dos implicancias son los contrarecíprocos de las que debemos mostrar. Esto concluye la demostración.

\blacksquare

Observación: En la última proposición escogimos X abierto sólo de manera conveniente. Hay una forma de generalizar esto, resultando super natural cuando hablamos de topología de subespacios, la cual evitamos en esta ocasión para no enredar la idea básica que queremos exponer.

Continuidad

de

En este post nos centraremos en una caracterización determinante sobre las funciones continuas. Naturalmente, partiremos con la definición de una función continua definida sobre un subconjunto del espacio euclideano n-dimensional, y luego generalizaremos a un espacio métrico de manera natural.

Recordemos entonces la definición de continuidad

Definición: Una función f:U\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} definida en un abierto U de \mathbb{R}^{n} es continua en un punto x_{0}\in U, si y sólo si para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que

\|x-x_{0}\|<\delta  \Rightarrow  \|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon.

Una tal función se dice continua (sobre su dominio) si es continua en todo punto de su dominio.

Observaciones: En la definición anterior escribimos de manera idéntica \|\cdot\| para referirnos a la norma euclideana sobre \mathbb{R}^{n} y sobre \mathbb{R}^{m}, naturalmente hacemos esto por simplicidad de notación.


Proposición:  Una función f:U\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m} es continua si y sólo si para todo abierto V\subset\mathbb{R}^{m}, el conjunto f^{-1}(V)\subset\mathbb{R}^{n} es abierto. En este caso definimos f^{-1}(V) como

f^{-1}(V)=\{x\in U:f(x)\in V\}.

Observación: ¡Cuidado!, en ningún caso estamos suponiendo que la función sea invertible.


Demostración:

Supongamos que nuestra función es continua (en el sentido de la definición propuesta), y consideremos un abierto V\subset\mathbb{R}^{m}. Si f^{-1}(V)=\emptyset, entonces f^{-1}(V) es abierto por definición. Si no, entonces para cada x_{0}\in U\cap f^{-1}(V) definimos y_{0}=f(x_{0})\in V. Como V es abierto, existe una bola en torno a y_{0} totalmente contenida en V; i.e. existe \varepsilon_{0}>0 tal que B(y_{0},\varepsilon_{0})\subset V. Por definición de continuidad, dado tal \varepsilon_{0} existe \delta_{0}>0 tal que

\|x-x_{0}\|<\delta_{0}  \Rightarrow  \|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon_{0}.

Pero debemos notar que \|x-x_{0}\|<\delta_{0} es equivalente a decir x\in B(x_{0},\delta_{0}), y por otro lado, \|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon_{0} es equivalente a decir f(x)\in B(y_{0},\varepsilon_{0}). Por lo tanto de la definición de continuidad en el punto x_{0}, se concluye que

x\in B(x_{0},\delta_{0}) \Rightarrow f(x)\in B(y_{0},\varepsilon_{0}).

Pero B(y_{0},\varepsilon_{0}) \subset V, por lo que si x\in B(x_{0},\delta_{0}) entonces f(x)\in V, de donde se concluye que

f(B(x_{0},\delta_{0}))\subset V

o de manera equivalente

B(x_{0},\delta_{0})\subset f^{-1}(V).

Hemos mostrado que para cada punto en el conjunto f^{-1}(V) existe una bola, en torno a tal punto, totalmente contenida en f^{-1}(V). Esto resulta ser exactamente que f^{-1}(V) es un conjunto abierto en \mathbb{R}^{n}.

Para el recíproco, supongamos que para cada abierto V en \mathbb{R}^{m} el conjunto f^{-1}(V) es abierto en \mathbb{R}^{n}. Consideremos un punto x\in U y su imagen f(x)\in V. Para un \varepsilon>0 arbitrario podemos considerar en particular V=B(f(x),\varepsilon), y luego su preimagen f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)) es abierta en \mathbb{R}^{n}. Luego en torno a x\in f^{-1}(B(f(x),\varepsilon)) existe una bola de radio \delta>0, B(x,\delta), tal que

B(x,\delta)\subset f^{-1}(B(f(x),\varepsilon))

o equivalentemente

f(B(x,\delta))\subset B(f(x),\varepsilon).

Y como vimos anteriormente, esto es equivalente a \|x-x_{0}\|<\delta  \Rightarrow  \|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon, lo que muestra la continuidad en x, y luego, por arbitrariedad de x\in U, se tiene la continuidad en todo U.

\blacksquare

De inmediato se obtienen resultados importantes por esta equivalencia. Entre ellos

  • Dada una función continua como antes, la preimagen de conjuntos cerrados es cerrado. Basta usar el hecho de que el complemento de una preimagen es la preimagen del complemento; i.e. para cada V\subset\mathbb{R}^{m}, (f^{-1}(V))^{c}=f^{-1}(V^{c}).
  • En particular de lo anterior, la preimagen de un punto es un conjunto cerrado.

Por otra parte, podemos generalizar un poco más esta nocion para espacios métricos. Si el lector no esta familiarizado, puede encontrar un link de interés haciendo click en «Espacios métricos«.

Proposición: Sea F:(X,d)\rightarrow (Y,\rho) una función continua entre dos espacios métricos. Entonces la preimagen de todo abierto en Y es un abierto en X. Mas aún, esta es una equivalencia.

Continuidad

La demostración de lo anterior es exactamente idéntica a la demostración aquí realizada para el caso particular donde f:(\mathbb{R}^{n},d_{E})\rightarrow (\mathbb{R}^{m},d_{E}). En este caso, d_{E} denota la distancia euclideana.