Una Propiedad Exponencial

16 May, 2013 de Felipe Riquelme

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua tal que

$f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$

entonces $f\equiv 0$ o $f(x)=a^{x}$ para algún $a\in\mathbb{R}^{+}$ .

En efecto, lo primero que debemos notar es que o bien $f(0)=0$ o bien $f(0)=1$ , para mostrarlo es suficiente escribir $f(0)=f(0+0)=f(0)^{2}$ lo que implica el resultado. Si $f(0)=0$ entonces $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ . Si no, entonces $f(0)=1$ y $f(1)=f(\frac{1}{n}\cdot n)=f(\frac{1}{n})^{n}$ , lo que implica que $f(1)>0$ pues para $n$ suficientemente grande, $f(1/n)>0$ por continuidad en el origen. Es fácil ver también que lo último implica que $f(x)>0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ .

Observemos ahora que en cada conjunto compacto (cerrado y acotado) la función es Riemann integrable por continuidad, por lo tanto

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{kx}{n}\right)\frac{x}{n}}$

Por otro lado, para todo $n$ natural y $y\in\mathbb{R}$ , $f(ny)=f(y)^{n}$ y $f(y/n)=f(y)^{1/n}$ , de donde

$\displaystyle{f\left(\frac{kx}{n}\right)=f(x)^{\frac{k}{n}}}$

Lo que implica

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x)^{\frac{k}{n}}}$

y luego la suma geométrica nos entrega

$\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{n}\frac{f(x)-1}{f(x)^{1/n}-1}}$ .

Recordemos ahora que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}n(y^{1/n}-1)}$ para cada $y\in\mathbb{R}^{+}$ , entonces

$\int_{0}^{x}f(t)dt=\dfrac{x(f(x)-1)}{\log{f(x)}}$ .

En el caso particular de $x=n$ obtenemos $f(n)=f(1)^{n}$ y por lo tanto

$\int_{0}^{n}f(t)dt=\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}$ .

Por otro lado un simple cambio de variables implica

$\int_{x}^{x+n}f(t)dt=\int_{0}^{n}f(t+x)dt=f(x)\int_{0}^{n}f(t)dt$

por lo que si derivamos respecto a $x$ , nos queda

$f(x+n)-f(x)=\frac{df}{dx}(x)\frac{f(n)-1}{\log{f(1)}}$ ,

pero $f(x+n)-f(x)=f(x)(f(n)-1)$ , entonces

$f(x)\log{f(1)}=\frac{df}{dx}(x)$ .

Basta considerar $a=f(1)$ y resolver la ecuación diferencial para concluir que $f(x)=a^{x}$ .

Otra forma de resolver el problema es una perspectiva de la densidad. En efecto, si dos funciones $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continuas coinciden en un conjunto denso, entonces las funciones coinciden en toda la recta real. Para ello basta considerar un punto arbitrario y estudiar la convergencia a tal punto por sucesiones del conjunto denso, los límites deben ser iguales al evaluar en cada función. Finalmente, para cada $p,q\in\mathbb{Q}$ , con $q\neq 0$ , entonces $f(p/q)=f(1)^{p/q}$ . Es decir, para $a=f(1)$ , las funciones $f(x)$ y $g(x)=a^{x}$ coinciden sobre $\mathbb{Q}$ . Nuestra primera observación en este párrafo concluye el resultado.

Principio de Inducción Matemática

10 May, 2013 de Felipe Riquelme

El principio de inducción matemática es una herramienta poderosa para demostrar propiedades que satisfacen los números naturales. Ésta nos dice que si «1 satisface una propiedad fija» y si «dado otro natural que la satisface, su sucesor también la satisface», entonces todo número natural debe satisfacer la misma propiedad.

Denotemos $\mathcal{P}$ una propiedad aplicable sobre los números naturales y escribamos $\mathcal{P}(n)$ cuando el natural $n$ satisface la propiedad $\mathcal{P}$

En lenguaje matemático el principio de inducción se traduce en lo siguiente

Proposición: Si $\mathcal{P}(1)$ y $\mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1)$ , entonces todos los números naturales satisfacen la propiedad $\mathcal{P}$ .

Este principio para muchos llega a ser un dolor de cabeza debido a la lógica que hay por detrás, de hecho, a juicio personal considero que la mayor dificultad proviene de la implicancia $\mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1)$ .
Para usar el principio de inducción matemática se debe mostrar precisamente esa implicancia y que 1 satisface la propiedad; la última siendo una simple verificación a mano. Pero muchos que no comprenden la lógica que hay de fondo creen que para demostrar una propiedad sobre los naturales basta probar justamente que $\mathcal{P}(k)\Rightarrow\mathcal{P}(k+1)$ .

¿Por qué no es así?

El mejor ejemplo que se tiene en estos casos es el efecto dominó. Imaginemos que queremos botar todas las piezas de un dominó como en el siguiente video

Para ello necesitamos dos leyes fundamentales, la primera es partir botando una ficha, esa se compara con la primera hipótesis de inducción, sin este simple acto es imposible botar alguna. La segunda ley es asegurar que dado que una ficha se ha caído la siguiente también caerá. Sin esto último no podrían caerse todas las fichas del dominó una tras otra se manera consecutiva. Es decir

Para asegurar que todas las fichas de un dominó se caerán, es necesario saber que las dos leyes anteriores se satisfacen.

Cuando pensamos en el principio de inducción matemática, queremos asegurar que todas las fichas se caerán, es decir, que todos los naturales satisfagan la propiedad buscada. Naturalmente debemos pensar en un dominó infinito, los naturales lo son, pero el problema es reducido al caso finito de manera simple. Si queremos saber si un natural $N$ satisface una propiedad, basta considerar el dominó de naturales infinito truncado hasta la ficha $N$ y esperar que la ficha caiga. ¡SI TENEMOS LAS DOS LEYES ENTONCES SIEMPRE CAERÁ TAL FICHA!.

Ejemplo:

Dado un natural $N$ queremos probar lo siguiente

$\displaystyle{1+2+3+4+...+(N-1)+N=\sum_{i=1}^{N}i=\frac{N(N+1)}{2}}$ .

Hay bastantes formas de hacerlo, pero nos centraremos solo en como aplicar la inducción matemática. La propiedad aplicada al natural 1 significa que debemos probar que la suma de los primeros 1 naturales es $\frac{1(1+1)}{2}=1$ , lo cual es trivial. La parte interesante (e insisto, la mas complicada lógicamente para muchos) es la segunda ley. Supongamos que un natural $n$ satisface la propiedad (o equivalentemente, que sabemos que una pieza ha caído), debemos mostrar que $n+1$ también satisface la propiedad (debemos asegurar que la siguiente pieza de dominó caerá). Notemos entonces que

$1+2+...+n+(n+1)=(1+2+...+n)+(n+1)$

pero el primer paréntesis, por nuestra hipótesis, vale $\frac{n(n+1)}{2}$ , por lo que

$1+...+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

y si simplificamos un poco las cosas nos queda

$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .

Hemos probado que $1+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ lo cual nos dice precisamente, si reemplazamos $N$ por $n+1$ en la primera fórmula, que la propiedad se satisface para el natural $n+1$ . Hemos probado la segunda ley.

Finalmente, lógicamente hablando y gracias al principio de inducción matemática, podemos asegurar fervientemente que todo número natural satisface esa propiedad.

Sumar los primeros 100 numeros puede ser agotador, pero ciertamente sabemos ahora que tal suma vale $\frac{100\times 101}{2}=5050$ .

¿Por qué es útil el Principio de Inducción Matemática?

Los naturales son un conjunto infinito de elementos por lo que si queremos probar que todos los naturales satisfacen cierta propiedad, la manera inmediata es pensar en probar uno por uno, ¡pero no terminaríamos nunca!. Es por esto mismo que el principio de inducción es tan importante, es una herramienta, como muchas otras en la matemática, que nos ayuda a resolver problemas que en principio son imposibles de realizar debido al límite humano (temporal) gracias a un cambio de perspectiva. En este caso, basta botar la primera pieza, comprobar una propiedad y la teoría se encarga del resto.

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Última Parte)

6 May, 2013 de Felipe Riquelme

Para terminar con la serie de post sobre geometría hiperbólica, me gustaría hacer hincapié en un resultado básico de la geometría euclideana. Si fijamos tres ángulos $\alpha,\beta, \gamma$ tales que su suma es 180 grados (o mas comodamente, $\pi$ radianes), entonces siempre existe un triángulo que contiene a tales ángulos, más aún, todas las isometrías de tal triángulo siguen satisfaciendo lo mismo, e incluso más aún, si dilatamos o contractamos el triángulo seguiremos obteniendo triángulos que tienen como componentes a los ángulos escogidos, a pesar de ya no ser isométricos entre si. Esto es algo que NO se satisface en geometría hiperbólica…

Proposición: Para tres valores de ángulos cuya suma sea estrictamente menor que 180 grados (propiedad que veremos al final que es necesaria), existe un triángulo (único salvo isometrias) que contiene a tales ángulos.

La existencia es algo no difícil de ver y que ciertamente no es lo que nos interesa fundamentalmente. Argumentos de continuidad en la construcción son suficientes.

Consideremos entonces un triángulo hiperbólico arbitrario $ABC$ , de largos de lados $a,b,c$ y ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ todos positivos. Vía una isometría es posible reducirnos al caso donde $A=i$ , $Re(B)=0$ , $Im(B)<1$ y $Re(C)>0$ , esto es fácil de ver pues basta aplicar una isometría que lleve $A$ en $i$ (la acción de $PSL(2,\mathbb{R})$ es transitiva). La acción también es transitiva en las direcciones en $i$ , entonces podemos suponer $Re(B)=0$ y $Im(B)<1$ . Finalmente si es necesario consideramos reflexiones de modo que $Re(C)>0$ .

Denotamos ahora $R_{\theta}$ una rotación de centro $i$ y ángulo $\theta$ , $T_{h}$ el elemento hiperbólico de $PSL(2,\mathbb{R})$ tal que tiene punto fijo repulsivo el origen, atractivo el infinito y que envía $i$ a distancia $h$. Entonces el elemento

$R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c}$

fija $i$ y las direcciones verticales, esto implica que esta únicamente determinado sobre $PSL(2,\mathbb{R})$ , es decir

$R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c}=\pm Id.$

Ahora podemos aplicar la representacion adjunta, y concluimos que

$Ad(R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c})=Ad(\pm Id).$

por lo que si denotamos $M_{\theta,h}=Ad(R_{\pi+\theta}\cdot T_{h})$ , nos queda

$M_{\theta,h}=\left(\begin{array}{ccc}{\cos(\theta+\pi)}&{-sin(\theta+\pi)}&{0}\\{sin(\theta+\pi)}&{cos(\theta+\pi)}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&\cosh(h)&\sinh(h)\\{0}&\sinh(h)&\cosh(h)\end{array}\right)$

Entonces, buscamos escribir $M_{\alpha,b}\cdot M_{\gamma,a}=M^{-1}_{\beta,c}$ , de donde, si hacemos el cálculo e igualamos ciertos coeficientes de la matriz izquierda y derecha, se deducen las siguientes leyes

$\dfrac{\sin(\alpha)}{\sinh(a)}=\dfrac{\sin(\beta)}{\sinh(b)}=\dfrac{\sin(\gamma)}{\sinh(c)}$

$\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(a)\sinh(b)\cos(\gamma)$

$\cosh(c)=\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\gamma)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}$

de las cuales la última es precisamente la que nos dice que los largos de los lados estan determinados por los ángulos del triángulo.

Observación: Un resultado estándar es que la área de un triángulo hiperbólico esta determinada por $\pi-\alpha-\beta-\gamma$ , lo que implica que la suma de los ángulos de un triángulo en radianes es estrictamente menor que $\pi$ . Esto tiene una implicancia bastante bonita cuando miramos superficies de Riemann compactas de género $g\geq 2$ . Sobre cada clase de homotopía libre existe una única geodésica de largo minimal. La existencia la entrega el teorema de Ascoli-Arzela y la unicidad proviene de usar el teorema de Uniformización, levantando dos curvas minimales al plano hiperbólico (geodésicas del plano hiperbólico pues la estructura de superficie de Riemann esta ligada a la métrica Riemanniana proveniente de la estructura hiperbólica) y llegar a una contradicción formando adecuadamente dos triángulos cuyas sumas de ángulos sea $2\pi$ (en el plano hiperbólico).