julio | 2014 | Sea epsilon...

En teoría ergódica diferenciable uno se interesa fundamentalmente en el estudio local de un sistema dinámico a través de una linearización adecuada del sistema. Una vez que estudiamos transformaciones diferenciables definidas en variedades Riemannianas (muchas veces tales transformaciones se consideran con singularidades en conjuntos razonables), uno puede reducir el estudio del sistema usando la linearización natural que proviene de la diferencial de la transformación definida en el fibrado tangente. El teorema de Oseledets es una herramienta increiblemente potente en este ámbito, y ha permitido desarrollar una inmensa teoría como consecuencia.

En palabras sencillas, el teorema de Oseledets nos entrega información precisa de la dinámica. Particularmente nos habla de la existencia de subespacios vectoriales en «casi todo» plano tangente a la variedad, sobre los cuales la diferencial se comporta (exponencialmente a lo largo de las órbitas) de manera dilatante, contractante o sin comportamiento exponencial (lo cual es bastante útil cuando estudiamos por ejemplo la entropía). En lenguaje puramente matemático el enunciado es el siguiente

Teorema (Oseledets). Sea $f:M\rightarrow M$ un difeomorfismo de clase $C^{1}$ definido en una variedad Riemanniana $M$ . Sea $\mu$ una medida boreliana de probabilidad en $M$ y supongamos que $\log^{\pm}\|df\|\in\mathscr{L}^{1}(M,\mu)$ . Entonces, para $\mu$ – casi todo $x\in M$

Existen constantes reales $\lambda_{1}(x)>...>\lambda_{r(x)}(x)$ ;
Existen subespacios vectoriales $E_{1}(x),...,E_{r(x)}(x)$ de $T_{x}M$

tales que

$T_{x}M=\bigoplus_{i=1}^{r(x)}E_{i}(x)$

los espacios $E_{i}(x)$ son estables por la diferencial, es decir

$d_{x}f(E_{i}(x))=E_{i}(f(x))$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\|d_{x}f^{n}(v)\|=\lambda_{i}(x)$ para todo $v\in E_{i}(x)$ , $1\leq i\leq r(x)$ .

Más aún, las aplicaciones $x\mapsto r(x)$ , $x\mapsto \lambda_{i}(x)$ , $x\mapsto dim(E_{i}(x))$ son medibles. La propiedad de estabilidad por la diferencial implica que tales aplicaciones son también invariantes por $f$ . En el caso particular de $\mu$ medida ergódica, las aplicaciones son constantes $\mu$ – casi todas partes.

Definicion: Los valores $\{\lambda_{i}(x)\}$ son llamados Exponentes de Lyapunov y los espacios $\{E_{i}(x)\}$ son llamados Espacios Característicos.

Un ejemplo en el cual podemos encontrar concretamente los exponentes de Lyapunov y los espacios característicos son los automorphismos del toro. Aquellos estan definidos en su espacio de cubrimiento universal por una matriz invertible a valores enteros (cuya inversa satisface lo mismo). Los exponentes de Lyapunov corresponden a los logaritmos de los valores propios de la matriz, y los espacios característicos corresponden a las proyecciones sobre el toro de los espacios propios de la matriz.

Las transformaciones definidas a partir de intercambios de intervalos son un ejemplo clave en sistemas dinámicos. En efecto, Arnoux, Ornstein y Weiss mostraron que todo sistema dinámico mesurable aperiódico es realizado (es decir, isomorfo en medida) a una de esas transformaciones. La definición exacta de tales sistemas es algo compleja, por lo que el objetivo primordial de este post es dar una idea de la construcción a partir de un ejemplo sencillo. Finalmente se darán algunos resultados mas específicos en un contexto puramente formal.

Comenzaremos con el intervalo $I=[0,1)$ y lo pensaremos como una columna consistente de una sola linea horizontal. La transformación en este nivel será definida como la aplicación identidad.
En el siguiente paso consideramos dos subintervalos $[0,1/2)$ y $[1/2,0)$ , los imaginaremos como una sola columna consistente en dos lineas horizontales, una sobre otra. Pensemos que cortamos la columna del paso uno en la mitad y colocamos la segunda mitad sobre la primera. Esta nueva columna esta dotada de una aplicación natural, la cual lleva un elemento de la primera línea en su valor correspondiente en la segunda, y la última linea es llevada en su valor correspondiente en la primera. Debemos imaginar que estamos intercambiando posiciones de intervalos de largo $1/2$ .
En el tercer paso, cortamos la nueva columna a la mitad, lo que nos deja dos columnas, la primera consistiendo de los intervalos $[0,1/4)$ , $[1/2,3/4)$ y la segunda consistiendo de los intervalos $[1/4,1/2)$ , $[3/4,1)$ . Colocamos la segunda columna sobre la primera, y obtenemos una nueva columna de ancho 1/4, y una aplicacion natural descrita como antes; es decir,

$[0,1/4)\rightarrow [1/2,3/4)\rightarrow [1/4,1/2)\rightarrow [3/4,1)\rightarrow [0,1/4)$

De manera más general, repetimos este proceso una cantidad infinita de veces de manera inductiva (siempre cortar a la mitad una columna, separar en dos, poner una sobre la otra y concluir definiendo la aplicación que lleva una línea en la superior, salvo por la última que regresa a la primera). La aplicación natural en cada iteración representa nada más que un intercambio de intervalos de igual medida (medida que es cada vez más y más pequeña, tendiendo a cero).
Si escribimos $T_{n}$ la aplicación inducida en el intervalo $[0,1)$ descrita en el n-ésimo paso, entonces podemos definir la aplicación $T:[0,1)->[0,1)$ como el límite puntual de las aplicaciones $T_{n}$ . Más específicamente, sea $x\not\in\{p/2^{k}, k\in\mathbb{N}, 0\leq p\leq 2^{k}\}$ , entonces, para $n$ suficientemente grande, $x\not\in [1-1/2^{n},1)$ y por lo tanto $T(x)$ está bien definida por $T(x)=T_{n}(x)$ .

La aplicación $T_{n}$ es una isometría por tramos. En efecto, ella está constituida por traslaciones de intervalos de longitud $1/2^{n}$ . De esta forma, la medida de Lebesgue en el intervalo unitario permite hablar de una transformación que preserva la medida de Lebesgue. La aplicación $T$ deviene entonces en una transformación que preserva la medida de Lebesgue definida para todo punto del intervalo, salvo por un conjunto de medida nula (precisamente numerable). Formalmente obtenemos

El siguiente teorema proviene del artículo «An entropy estimate for infinite interval exchange transformations» del autor Frank Blume.

Teorema 1. Si la entropía de la partición formada por los intervalos que definen $T$ es finita, entonces la entropía de la transformación es nula.

En nuestro ejemplo, la partición está definida por $I_{0}=[0,1/2)$ y $I_{n}=[1-(1/2)^{n},1-(1/2)^{n+1})$ . Un cálculo sencillo nos dice que su entropía $-\sum_{n=0}^{\infty}m(I_{n})\log m(I_{n})$ es igual a $2\log(2)$ , por lo que la entropía de $T$ es nula.

Uno está tentado a pensar que una transformación inducida por estos intercambios de intervalos deben ser de entropía nula en todos los casos (traslaciones en general tienen una dinámica lineal, por lo que su entropía es nula). Esto se encuentra bastante lejos de ser cierto. El teorema nombrado en un comienzo, y formalizado en el párrafo siguiente, nos da una gama gigante de tales transformaciones cuya entropía puede ser incluso infinita.

Teorema 2. Toda transformación aperiódica que preserva cierta medida de probabilidad es isomorfa a una transformación de intercambio de intervalos $T:[0,1)\rightarrow[0,1)$ del tipo siguiente

Subintervalos $I_{1}, I_{2},...$ dados por $I_{j}=(t_{j-1},t_{j})$ , con $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<\lim_{j}t_{j}=1$ ;
existen constantes reales $\{a_{j}\}$ tales que para $x\in I_{j}$ , $T(x)=x+a_{j}$ ;
el único punto de acumulación de $\{t_{j-1}+a_{j}\}\cup\{t_{j}+a_{j}\}$ es $1$ ;
$T$ es inyectiva.