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Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Última Parte)

de

Para terminar con la serie de post sobre geometría hiperbólica, me gustaría hacer hincapié en un resultado básico de la geometría euclideana. Si fijamos tres ángulos \alpha,\beta, \gamma tales que su suma es 180 grados (o mas comodamente, \pi radianes), entonces siempre existe un triángulo que contiene a tales ángulos, más aún, todas las isometrías de tal triángulo siguen satisfaciendo lo mismo, e incluso más aún, si dilatamos o contractamos el triángulo seguiremos obteniendo triángulos que tienen como componentes a los ángulos escogidos, a pesar de ya no ser isométricos entre si. Esto es algo que NO se satisface en geometría hiperbólica…

trihyp


Proposición: Para tres valores de ángulos cuya suma sea estrictamente menor que 180 grados (propiedad que veremos al final que es necesaria), existe un triángulo (único salvo isometrias) que contiene a tales ángulos.

La existencia es algo no difícil de ver y que ciertamente no es lo que nos interesa fundamentalmente. Argumentos de continuidad en la construcción son suficientes.

Consideremos entonces un triángulo hiperbólico arbitrario ABC, de largos de lados a,b,c y ángulos \alpha, \beta, \gamma todos positivos. Vía una isometría es posible reducirnos al caso donde A=i, Re(B)=0, Im(B)<1 y Re(C)>0, esto es fácil de ver pues basta aplicar una isometría que lleve A en i (la acción de PSL(2,\mathbb{R}) es transitiva). La acción también es transitiva en las direcciones en i, entonces podemos suponer Re(B)=0 y Im(B)<1. Finalmente si es necesario consideramos reflexiones de modo que Re(C)>0.

Denotamos ahora R_{\theta} una rotación de centro i y ángulo \theta, T_{h} el elemento hiperbólico de PSL(2,\mathbb{R}) tal que tiene punto fijo repulsivo el origen, atractivo el infinito y que envía i a distancia $h$. Entonces el elemento

R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c}

fija i y las direcciones verticales, esto implica que esta únicamente determinado sobre PSL(2,\mathbb{R}), es decir

R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c}=\pm Id.

Ahora podemos aplicar la representacion adjunta, y concluimos que

Ad(R_{\pi+\alpha}\cdot T_{b}\cdot T_{\pi+\gamma}\cdot T_{a}\cdot R_{\pi+\beta}\cdot T_{c})=Ad(\pm Id).

por lo que si denotamos M_{\theta,h}=Ad(R_{\pi+\theta}\cdot T_{h}), nos queda

M_{\theta,h}=\left(\begin{array}{ccc}{\cos(\theta+\pi)}&{-sin(\theta+\pi)}&{0}\\{sin(\theta+\pi)}&{cos(\theta+\pi)}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&\cosh(h)&\sinh(h)\\{0}&\sinh(h)&\cosh(h)\end{array}\right)

Entonces, buscamos escribir M_{\alpha,b}\cdot M_{\gamma,a}=M^{-1}_{\beta,c}, de donde, si hacemos el cálculo e igualamos ciertos coeficientes de la matriz izquierda y derecha, se deducen las siguientes leyes

\dfrac{\sin(\alpha)}{\sinh(a)}=\dfrac{\sin(\beta)}{\sinh(b)}=\dfrac{\sin(\gamma)}{\sinh(c)}

\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(a)\sinh(b)\cos(\gamma)

\cosh(c)=\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\gamma)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}

de las cuales la última es precisamente la que nos dice que los largos de los lados estan determinados por los ángulos del triángulo.


Observación: Un resultado estándar es que la área de un triángulo hiperbólico esta determinada por \pi-\alpha-\beta-\gamma, lo que implica que la suma de los ángulos de un triángulo en radianes es estrictamente menor que \pi. Esto tiene una implicancia bastante bonita cuando miramos superficies de Riemann compactas de género g\geq 2. Sobre cada clase de homotopía libre existe una única geodésica de largo minimal. La existencia la entrega el teorema de Ascoli-Arzela y la unicidad proviene de usar el teorema de Uniformización, levantando dos curvas minimales al plano hiperbólico (geodésicas del plano hiperbólico pues la estructura de superficie de Riemann esta ligada a la métrica Riemanniana proveniente de la estructura hiperbólica) y llegar a una contradicción formando adecuadamente dos triángulos cuyas sumas de ángulos sea 2\pi (en el plano hiperbólico).

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Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte IV)

de

En el post anterior describimos a los elementos de PSL(2,\mathbb{R}) segun tres tipos. Modulo conjugación, estos elementos se caracterizan por, o bien fijar un punto en el plano hiperbólico, o bien fijar un elemento en la frontera (de modo atractor), o bien fijar dos elementos en la frontera (uno atractor y otro repulsor). Vimos que en particular, los elementos elípticos, luego de conjugarlos de una manera adecuada, son de la forma

A_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right).

Este elemento es en efecto una rotación con centro en i y de ángulo -2\theta. Naturalmente, con lo que sabemos hasta ahora, visualizar esto no es evidente. Se hace necesario un modelo hiperbólico en el cual la geometría sea mucho más precisa y clarificante (pero pagando ese precio, perdemos facilidad en algunos cálculos).

Sea \mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}, entonces la función f:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{D}, definida por

f(z)=\frac{z-i}{z+i}

es una biyección. Debemos probar primero que nuestro recorrido es efectivamente el disco, para ello notamos que si z\in\mathbb{H} entonces |z-i|<|z+i| (ver figura), y por lo tanto |f(z)|<1. Por otro lado, para w\in\mathbb{D} se tiene que \frac{i(w+1)}{1-w} es un elemento del plano hiperbólico, y es el único elemento tal que al componerla con f me entrega nuevamente w. Hemos encontrado una inversa continua.

fig3


Observación: Obtuvimos un homeomorfismo, que desde el punto de vista de variable compleja representa un biholomorfismo. En particular los ángulos se preservan.

A modo de observación, podemos definir una métrica en \mathbb{D} dada por |ds|=\frac{|g'(z)||dz|}{Im(g(z))}, la cual de manera intuitiva representa la métrica imagen vía g=f^{-1} (las distancias entre dos puntos del disco son las distancias de las imagenes vía g). Un simple cálculo muestra que

|ds|=\frac{2|dz|}{1-|z|^{2}}.


Ejercicio: Verificar que las geodésicas del disco con esta métrica son, o bien segmentos de circunferencias ortogonales al borde del disco unitario, o bien segmentos de rectas que pasan por el origen.


Observación: Por como definimos esta métrica, f es una isometría.

Volviendo a lo que nos interesa, queremos representar en el plano hiperbólico las rotaciones. Como tenemos una aplicación conforme del plano en el disco, entonces podemos estudiar las rotaciones del disco (que son fáciles de representar) y trasladar nuestra información, vía nuestra aplicación, al semiplano:

Sabemos que f(i)=0, por lo que una rotación con centro en «latex i» se traduce en el disco en una rotación con centro en el origen. Por otro lado, una rotación en ángulo \theta en el disco es representado por z\mapsto e^{i\theta}z. Matricialmente esta acción está dada por

z\mapsto\left(\begin{array}{cc}e^{\theta/2}&{0}\\{0}&e^{-\theta/2}\end{array}\right)\cdot z

por lo que, escribiendo z\mapsto f(z) de la forma

z\mapsto \left(\begin{array}{cc}{1}&{-i}\\{1}&{i}\end{array}\right)\cdot z

nos queda, denotando R_{\theta} la rotación en ángulo \theta con centro en i del plano hiperbolico,

R_{\theta}=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{cc}{i}&{i}\\{-1}&{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e^{\theta/2}&{0}\\{0}&e^{-\theta/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1}&{-i}\\{1}&{i}\end{array}\right)

o escrito en forma reducida

R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta/2}&\sin{\theta/2}\\-\sin{\theta/2}&\cos{\theta/2}\end{array}\right).

Notar que esto muestra nuestra primera afirmación. De acuerdo a la matriz escrita al comienzo, A(\theta) es exactamente una rotación en ángulo -2\theta.

Resumiendo, en los últimos dos post hemos escrito tres tipos de matrices, de acuerdo a su comportamiento dinámico, y dos de acuerdo a su acción geométrica en el plano hiperbólico. Éstas son

R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta/2}&\sin{\theta/2}\\-\sin{\theta/2}&\cos{\theta/2}\end{array}\right)

T_{d}=\left(\begin{array}{cc}e^{d/2}&{0}\\{0}&e^{-d/2}\end{array}\right)

La primera representando una rotación en ángulo \theta y centro i (el cual es fijo), y la segunda representando un elemento hiperbólico con dos puntos fijos 0,\infty y con distancia de desplazamiento d.

Si aplicamos entonces la matriz R_{\pi/2} a T_{d} nos queda (como vimos en el post anterior) un elemento hiperbólico con punto repulsor -1 y atractor 1. A saber, el elemento

\left(\begin{array}{cc}\cosh{d/2}&\sinh{d/2}\\\sinh{d/2}&\cosh{d/2}\end{array}\right)

Representación Adjunta

Una herramienta útil en el estudio algebraico de las acciones dada por el grupo PSL(2,\mathbb{R}) está dada por la representación adjunta. Para introducirla debemos definir el grupo sl(2,\mathbb{R}).


Definición: El grupo sl(2,\mathbb{R}) se define como el grupo (aditivo) de todas las matrices con traza nula.

Notar que sl(2,\mathbb{R}) tiene una estructura de espacio vectorial real. Ademas, el grupo SL(2,\mathbb{R}) actúa en sl(2,\mathbb{R}) por conjugación. En efecto, si

A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R}) y X=\left(\begin{array}{cc}x&y\\z&-x\end{array}\right)\in sl(2,\mathbb{R})

se tiene

AXA^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x&y\\z&-x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{cc}(ad+bc)x+bdz-acy&-b^{2}+a^{2}y-2abx\\d^{2}z-c^{2}y+2cdx&-(ad+bc)x-bdz+acy\end{array}\right)

de donde es claro que tr(AXA^{-1})=0 (por lo que la acción está bien definida).

Implicitamente escribimos X con cierta estructura que deja en evidencia una base (visto como espacio vectorial). Escogemos entonces una base para sl(2,\mathbb{R}) la dada por

e_{1}=\left(\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right), e_{2}=\left(\begin{array}{cc}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}\right) y e_{3}=\left(\begin{array}{cc}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{array}\right)

Y por lo tanto, si definimos la aplicación adjunta de A como Ad(A):sl(2,\mathbb{R})\rightarrow sl(2,\mathbb{R}), en la base anterior se escribe matricialmente como

Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{ad+bc}&{bd-ac}&-ac-bd\\-ab+cd&\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})&\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\-ab-cd&\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})&\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\end{array}\right)

Y por lo tanto hemos definido una aplicación (o representación), llamada adjunta, de la forma ad:SL(2,\mathbb{R})\rightarrow End(sl(2,\mathbb{R})). Es posible verificar que Ker(ad)=\pm Id.

Por último debemos recordar que estamos trabajando sobre un espacio vectorial, y para facilitar los calculos, es mejor trabajar con la adjunta de las matrices elementales que encontramos. Éstos son los tres casos principales

  • Si A=\left(\begin{array}{cc}e^{d/2}&{0}\\{0}&e^{-d/2}\end{array}\right), entonces Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&\cosh(d)&\sinh(d)\\{0}&\sinh(d)&\cosh(d)\end{array}\right)
  • Si A=\left(\begin{array}{cc}\cosh(d/2)&\sinh(d/2)\\\sinh(d/2)&\cosh(d/2)\end{array}\right), entonces Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{\cosh(d)}&{0}&-\sinh(d)\\{0}&{1}&{0}\\{-\sinh(d)}&{0}&\cosh(d)\end{array}\right)
  • Si A=\left(\begin{array}{cc}\cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\-\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{array}\right), entonces Ad(A)=\left(\begin{array}{ccc}{\cos(\theta)}&{\sin(\theta)}&{0}\\{-\sin(\theta)}&{\cos(\theta)}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right).

Grupos Fuchsianos

de

En este post se asumirá que el lector tiene un conocimiento en superficies de Riemann y topología algebraica.


Definición: Un grupo Fuchsiano es un subgrupo discreto de PSL(2,\mathbb{R}).

Observación: Aquellos que conocen el Teorema de Uniformización, probablemente tengan en mente el siguiente resultado. Una superficie de Riemann compacta de género mayor o igual a 2 proviene del cuociente del disco unitario con un subgrupo de isometrías del disco. Este subgrupo es isomorfo al grupo fundamental, y por lo tanto, en vista del isomorfismo excepcional SU(1,1)\simeq PSL(2,\mathbb{R}), concluimos que dicho grupo de isometrías es un grupo fuchsiano (o isomorfo a uno).

Primero intentaremos caracterizar a los grupos Fuchsianos, una forma se basa en el lema siguiente. De aquí en adelante denotaremos \Gamma\leq PSL(2,\mathbb{R})


Lema: \Gamma es Fuchsiano si y solamente si él actua discontinuamente (todas las órbitas discretas) en \mathbb{H}.

Demostración:

El grupo PSL(2,\mathbb{R}) actúa libre y transitivamente sobre el fibrado tangente unitario U\mathbb{H} (pensar en el espacio tangente de \mathbb{H} considerando direcciones unitarias, si fija un punto y una dirección, debe ser la identidad). Luego \Gamma es discreto, si y solamente si, la acción en el fibrado es discreto. Así, las órbitas son discretas en PSL(2,\mathbb{R}) si y solamente si lo son en \mathbb{H}.

\blacksquare

Definición: Un polígono de \mathbb{H} es un subconjunto cerrado, convexo, con borde geodésico por tramos. Un lado es un segmento geodésico maximal en el borde y un vértice (definicion temporal) es un punto del borde definido por ser la intersección de dos lados. El polígono se dice finito si tiene un número finito de lados.

El objetivo de este post es enunciar (y dar una intuición antes de eso) el Teorema del Polígono de Dirichlet.


Definición: Un polígono P se dice fundamental para el grupo \Gamma si las traslaciones de P por el grupo \Gamma cubren \mathbb{H} y las translaciones del interior del polígono son dos a dos disjuntas.


Definición: Un polígono de Dirichlet P_{p} asociado a \Gamma y centrado en p es el conjunto

P_{p}=\{z\in\mathbb{H}:\forall\gamma\in\Gamma,\textmd{ }d(z,p)=d(z,\gamma\cdot p)\}.

Con estas definiciones, es posible probar que para \Gamma un grupo Fuchsiano y p\in\mathbb{H} de estabilizador trivial en \Gamma, entonces el poligono de Dirichlet P_{p} es un polígono (segun nuestra primera definición). Mas aún, dicho polígono es fundamental.

fig1

Consideramos entonces un grupo Fuchsiano \Gamma y un polígono de Dirichlet P=P_{p} centrado en un punto con estabilizador trivial. El objetivo de los siguientes parrafos es encontrar una representación del grupo.


Lema: Sea z\in\partial P. Entonces existe Id\neq\gamma\in\Gamma tal que \gamma\cdot z pertenece también a \partial P. Además, un tal \gamma es único si z no es un vértice.

Demostración:

Por la definición de polígono de Dirichlet, z\in\partial P si y solamente si existe \gamma\neq Id tal que la distancia de z a \Gamma\cdot p (la orbita de z) es alcanzada por p y \gamma p. Así, la distancia de z a p es igual (recordar que la acción es por isometrías) a la distancia entre p y \gamma^{-1}\cdot z, y por tanto nuestro elemento buscado es \gamma^{-1}. Recíprocamente, si z y \gamma^{-1}\cdot z están en el borde del polígono, entonces z es equidistante de p y \gamma\cdot p.

Si existiera un \delta\in\Gamma tal que \delta\cdot z está en la frontera del polígono, entonces d(p,\gamma\cdot z)=d(p,\delta\cdot z) y luego, si \gamma\neq\delta entonces z esta en la intersección de los polígonos fundamentales P_{p},P_{\delta\cdot p},P_{\gamma\cdot p}. Como los polígonos cubren a \mathbb{H} se tiene que z debe ser un vértice.

\blacksquare

Naturalmente, el lema anterior no nos especifica si uno podría tener que z\neq\gamma\cdot z. La igualdad puede ser alcanzada por los vértices, pero también por los puntos medios de los segmentos geodésicos (deben pensar que no puede ser otro punto del segmento pues debe haber una acción por isometría). Definimos entonces los vértices del polígono como los vértices ya definidos unidos a los puntos medios de los segmentos que satisfacen la igualdad anterior (es decir, tienen estabilizador no trivial). Con esta nueva definición, un punto en el borde que no es un vértice, debe tener por imagen (vía el único elemento del grupo descrito como antes) un punto del borde del polígono en un segmento geodésico que no es el mismo al cual pertenece. Si enumeramos los lados L_{1},...,L_{m},..., estos son aquellos tales que para cada i\in\{1,2,...\} existe un único \gamma_{i}\neq Id del grupo, y un único j\neq i tal que \gamma_{i} envia L_{i} en L_{j} (y este invierte la orientación dada por la la usual como borde de un conjunto convexo).

Lo anterior nos dice que un polígono con cantidad finita de lados, debe tener cardinalidad de lados par. Además, por unicidad, es claro que \gamma_{j}=\gamma_{i}^{-1}. Escribimos \sigma:i\mapsto j a tal involución.


Definición: El par (\sigma,\{\gamma_{i}\}) se conoce como apareamiento de lados para el polígono P_{p}.


Proposición: Suponiendo que P es finito, entonces \Gamma es generado por los \gamma_{i}.

Demostración:

Sea \gamma\in\Gamma. Si \gamma es uno de los \gamma_{i}, entonces \gamma\cdot p pertenece a una copia de P vecina a P. Si no, consideremos un camino de p a \gamma\cdot p que evita vértices y es transversal a los lados (de todas las traslaciones de P en caso que las intersecte). Consideramos la sucesion finita C_{1},...,C_{N} de lados tales que el camino los cruza. Cada uno de esos lados es la imagen de un unico lado L_{i_{k}} de P. De esta forma, el vecino de P a lo largo de L_{i_{k}} es por construccion la traslacion \gamma_{i_{k}}^{-1}(P). No es dificil de ver que \gamma(P)=\gamma_{i_{1}}^{-1}...\gamma_{i_{N}}^{-1}(P). Con esto se concluye que \gamma=\gamma_{i_{1}}^{-1}...\gamma_{i_{N}}.

En la figura adjunta se muestra un diseño de lo que sucede (los cambios de notacion son evidentemente adecuables a nuestra escritura)

fig2

\blacksquare

Por último, podemos definir una relación de equivalencia entre los vértices del polígono. Dos vértices se relacionan si existe un elemento del grupo que envía uno en otro. Llamamos ciclo elíptico a una clase de equivalencia. Además, un ciclo es determinado por una cantidad finita de vértices debido al cubrimiento de las traslaciones del polígono y la discretitud del grupo. Finalmente se define como ángulo de un ciclo a la suma de los ángulos del polígono en cada vértice del ciclo.


Definición: Denotamos \tilde{\sigma}(i)=\sigma(i)-1. Si escribimos s_{i}=L_{i}\cap L_{i+1}, entonces el ciclo de s_{i} es \{s_{i},s_{\tilde{\sigma(i)}},...,,s_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\} donde l es el primer entero tal que s_{\tilde{\sigma^{l+1}(i)}}=i.


Proposición: El ángulo de un ciclo es de la forma \frac{2\pi}{q} para q\in\mathbb{Z}. En tal caso \gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i} genera el estabilizador de s_{i} y es de orden q.

Demostración:

Por construcción \gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i} fija s_{i}, luego es de orden finito (por ser discreto). Cualquier elemento \gamma que fija s_{i} debe ser una rotación en ángulo el ángulo del ciclo. Es fácil ver que tal el elemento debe ser de la forma \gamma_{\tilde{\sigma^{k}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i} donde k es un multiplo de l.

\blacksquare

Si resumimos, partiendo de un grupo Fuchsiano y un polígono de Dirichlet asociado, encontramos un apareamiento de lados, una involución que describe el apareamiento. Cada vértice pertenece a un ciclo, con ángulo de ciclo dividiendo a 2\pi. Los elementos que relacionan los lados satisfacen \gamma_{\sigma(i)}=\gamma_{i}^{-1} y (\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i})^{q}=Id donde el ángulo de ciclo es \frac{2\pi}{q}.

Con esto en mente, es natural preguntarse si existe algún tipo de recíproco. En efecto


Teorema (Polígono de Poincaré)

Sea P un polígono compacto de lados L_{1},...,L_{2n} con un apareamiento (\sigma,\{\gamma_{i}\}) tal que el ángulo de cada ciclo divide a 2\pi. Entonces el grupo \Gamma generado por los \gamma_{i} es Fuchsiano y de representación

<(\gamma_{i})_{i=1,...,2n}|\gamma_{\sigma(i)}=\gamma_{i}^{-1},(\gamma_{\tilde{\sigma^{l}(i)}}\circ...\circ\gamma_{i})^{q}=Id\textmd{ donde el angulo de ciclo es }\frac{2\pi}{q}\textmd{ en el vertice }s_{i}>.

Debemos hacer una observacion no menor. Este resultado es mucho mas general, para (por ejemplo) un polígono no compacto, el cual tiene vértices en la frontera del plano hiperbólico. Estos vértices se conocen como vértices en el infinito, y sus ciclos se llaman ciclos parabólicos (pues la isotropía en esos puntos son elementos parabólicos de PSL(2,\mathbb{R})). ¡Es un resultado precioso!.

Para concluir con este post, mostraremos una pequeña aplicación de estos resultados


Grupos Fuchsianos y Superficies de Riemann

Sea P un polígono de 2n lados, de área finita, con un apareamiento (\sigma,\{\gamma_{i}\}). Escribimos c_{e} la cantidad de ciclos elípticos y c_{p} la cantidad de ciclos parabólicos.

Proposición: Si P satisface las hipótesis del Teorema de Poincaré y \Gamma es el grupo generado por los \gamma_{i}, entonces el cuociente de \mathbb{H}\bigcup\{\textmd{vertices en el infinito}\} por \Gamma es una superficie de Riemann compacta de género

g=\dfrac{1+n-(c_{e}+c_{p})}{2}

Demostración:

Las cartas para los puntos en las traslaciones del interior del polígono se definen por la identidad para una vecindad suficientemente pequeña. En los vértices elípticos se definen por z\mapsto z^{q} donde q representa el ángulo del ciclo, y en los vértices en el infinito debemos ser mas sutiles. Después de conjugar, supongamos que el vértice es z=\infty y que el elemento parabólico definido por el ciclo es \phi(z)=z+1. Entonces la función z\mapsto\exp(2\pi iz) define una carta local. La compacidad proviene del cubrimiento finito definido por estas cartas (o también se puede pensar que estamos compactificando la superficie \mathbb{H}/\Gamma) y el cálculo del género resulta de trazar triángulos desde el centro del polígono a los vértices (mirado todo en el plano hiperbólico) y luego cuocientamos y usamos la característica de Euler. Modulo la acción la triangulación nos queda con 2n triángulos, c_{e}+c_{p}+1 vértices y 3n aristas. Es decir, 2-2g=2n-3n+(c_{e}+c_{p}+1).

\blacksquare

Bibliografía:
[Sai2011] _____, Uniformisation des surfaces de Riemann, ENS Éditions, 2011.

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte III), PSL(2,R)

de

El objetivo de este post es conocer el grupo lineal proyectivo real PSL(2,\mathbb{R}).

En el post (Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte II)) definimos el grupo lineal especial SL(2,R) como las matrices cuadradas de 2\times 2, a coeficientes reales y determinante 1. Definimos la acción de este grupo sobre el plano de Poincaré dado por las homografías, es decir;

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot z=\frac{az+b}{cz+d}.

Notemos que, sin embargo, existen dos tipos de matrices que tienen la misma imagen vía la acción. En efecto, si A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} entonces

(-A)\cdot z=\frac{-az-b}{-cz-d}=\frac{az+b}{cz+d}.

Luego, definimos PSL(2,\mathbb{R})=SL(2,\mathbb{R})/\sim donde A\sim B si y sólo si B=-A o B=A.

Por simplicidad de notación, de ahora en adelante, seguiremos escribiendo A\cdot z a la acción de PSL(2,\mathbb{R}) sobre \mathbb{H}, cuando en estricto rigor debieramos escribir (\pm A)\cdot z

Con lo anterior en mente, necesitamos establecer distintos tipos de elementos en este grupo. Por asuntos de nuestro estudio, salvo conjugación, existen 3 en esencia. Si A\neq Id (donde Id representa la identidad en PSL(2,\mathbb{R}))

Notemos que A\cdot z=z es equivalente a resolver \frac{az+b}{cz+d}=z.

  • Caso 1: Si c=0 entonces la ecuación se transforma en \frac{a}{d}z+\frac{b}{d}=z (y la ecuación siempre se satisface en infinito).  Para \frac{a}{d}\neq 1 (notar que ad=1) entonces a^{2}\neq 1. Además |tr(A)|=|a+\frac{1}{a}|\geq 2, por lo que la ecuación tiene sólo una solución (o punto fijo) en \partial\mathbb{H} si y solamente si |tr(A)|>2. 
  • Caso 2: Si c\neq 0 entonces la ecuación se escribe como cz^{2}+(d-a)z-b=0 y la cantidad de soluciones depende del discriminante. Notar que su discriminante es |tr(A)|^{2}-4. Si |tr(A)|<2 entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas (una en \mathbb{H}), si |tr(A)|=2 entonces la solución es única y se encuentra en \partial\mathbb{H}. Finalmente si |tr(A)|>2 existen exactamente dos soluciones en la frontera.

En resumen, un elemento de PSL(2,\mathbb{R}) no puede fijar mas de 2 puntos, de hacerlo entonces el elemento del grupo debe ser la identidad.


Definición: Sea A\in PSL(2,\mathbb{R}). Decimos que A es un elemento Elíptico si |tr(A)|<2, en tal caso, A fija un solo punto en \mathbb{H}. Decimos que A es un elemento Parabólico si |tr(A)|<2, en tal caso A fija un solo punto en \partial\mathbb{H} (ojo, en este caso consideramos en la frontera a infinito). Finalmente decimos que A es Hiperbólico si |tr(A)|>2, o equivalentemente, si A fija exactamente dos puntos en la frontera de \mathbb{H}.


Observaciones: Si A es parabólico, entonces el punto fijo es atractor. Si A es hiperbólico entonces un punto fijo es atractor y otro es repulsor.

Recordemos que dos elementos g,g' en un grupo se dicen conjugados si existe h otro elemento del grupo tal que g'=hgh^{-1}. Por otra parte, sabemos que SL(2,\mathbb{R}) actúa de manera transitiva en \mathbb{H}. Esta propiedad naturalmente se mantiene en la acción de PSL(2,\mathbb{R})

  • Si A elíptico, luego de conjugar, podemos suponer que A fija a i\in\mathbb{H}. Resolviendo le ecuación del punto fijo nos queda (d-a)i-c-d=0 por lo que a=d y b=-c. Como el determinante de la matriz es 1, entonces a^{2}+b^{2}=1. Con esto se concluye que existe \theta\in\mathbb{R} tal que 

A=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}

  • Si A es parabólico, podemos suponer (salvo conjugación) que A fija al infinito. Luego existe c\neq 0 tal que  

A=\begin{pmatrix}1& c\\ 0 &1\end{pmatrix}

  • Si A es hiperbólico, podemos suponer (salvo conjugación) que A fija 0 y \infty. Luego es posible encontrar \lambda>0 tal que 

A=\begin{pmatrix}\lambda &0 \\ 0&\frac{1}{\lambda}\end{pmatrix}

Notar que en el último caso, por conjugación por \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} podemos suponer \lambda>1. Recordemos también que, de acuerdo a la métrica Riemanniana sobre el plano hiperbólico, se tiene que i es enviado a \lambda^{2}i por A

Esto quiere decir, por la fórmula encontrada de distancia, que i es trasladada a distancia 2\ln(\lambda) por el eje imaginario. Como la acción es por isometrías, todo punto en el semiplano es trasladada a distancia 2\ln(\lambda) (en cualquier dirección, no necesariamente vertical). Definimos entonces L_{A}=2\ln(\lambda) como la distancia de desplazamiento de A. Esto quiere decir que un elemento hiperbólico arbitrario A es siempre conjugado a

\begin{pmatrix}e^{L_{A}/2}&{0}\\{0}&e^{-L_{A}/2}\end{pmatrix}.

Finalmente, si conjugamos por el elemento \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} nos queda

\begin{pmatrix}\cosh(L_{A}/2)&\sinh(L_{A}/2)\\\sinh(L_{A}/2)&\cosh(L_{A}/2)\end{pmatrix}

y en tal caso el punto fijo atractivo es 1, y el repulsivo es -1.

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte II)

de

A lo largo de este post trabajaremos principalmente en el modelo del semi plano de Poincaré, es decir sobre

\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\textmd{ }|\textmd{ }Im(z)>0\}.

En nuestra primera parte (Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte I)) definimos lo que era una métrica Riemanniana, por lo que para definir la geometría hiperbólica nos centraremos en el estudio de una nueva métrica, conocida como la Métrica Hiperbólica del modelo del semi-plano de Poincaré.

Sobre el fibrado tangente de \mathbb{H} definimos la métrica dada por

ds^{2}=\frac{dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}.

Observaciones:

  • Un resultado clásico en este tipo de geometría es que dado dos puntos siempre existe una curva que los une y que minimiza distancias. Las llamamos curvas geodésicas.
  • Para una curva parametrizada \gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{H}, escrita por \gamma(t)=x(t)+iy(t), el largo de ella esta dado por

L(\gamma)=\int_{a}^{b}\frac{|\gamma'(t)|}{y(t)}dt


Proposición: Las curvas geodésicas son segmentos de arcos, los cuales, o bien son rectas verticales, o bien son semi-arcos de circunferencias ortogonales al eje real.

geohip

Demostración:

Consideremos primero z_{1}=x+iy_{1} y z_{2}=x+iy_{2} (es decir puntos que pertenecen a la misma vertical), ambos del semi plano, y tales que y_{2}>y_{1}.

Escribimos \gamma:[y_{1},y_{2}]\rightarrow\mathbb{H} por \gamma(t)=x+it. Entonces

L(\gamma)=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\frac{dt}{t}=\ln(\frac{y_{2}}{y_{1}})

Naturalmente uno tiene que para toda curva \delta:[a,b]\rightarrow\mathbb{H}, lo siguiente

L(\delta)=\int_{a}^{b}\frac{|\delta'(t)|}{y(t)}dt\geq\int_{a}^{b}\frac{y'(t)}{y(t)}dt=\ln(\frac{\gamma(b)}{\gamma(a)})

por lo que nuestra curva \gamma es minimizante (y es un segmento de recta vertical).

Para estudiar el otro caso nos enfocaremos en una de las herramientas más útiles en esta geometría.


Definición: Definimos el grupo multiplicativo SL(2,\mathbb{R}) como las matrices de determinante igual a 1 a coeficientes reales.

Lo interesante de este grupo es que actúa sobre el hiperplano hiperbólico. En efecto, definimos la acción de grupo sobre \mathbb{H} como sigue. Sea A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb{R}), entonces

A\cdot z=A(z)=\frac{az+b}{cz+d}

Además A'(z)=\frac{a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}=\frac{1}{(cz+d)^{2}} y

A(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{(az+b)(c\bar{z}+d)}{|cz+d|^{2}}=\frac{ac|z|^{2}+bd+adz+bc\bar{z}}{|cz+d|^{2}}

por lo que Im(A(z))=\frac{Im(z)}{|cz+d|^{2}}. Esta última igualdad es demasiado importante, nos dice que la acción de grupo está bien definida porque deja al semi-plano invariante.

Notemos además que por lo anteriormente mostrado, ds^{2}=\frac{|dz|^{2}}{y^{2}} y luego, para w=A(z) se tiene

ds^{2}=\frac{|dw|^{2}}{Im(w)^{2}}=\frac{|dz|^{2}}{|cz+d|^{4}}/\frac{Im(z)^{2}}{|cz+d|^{4}}=\frac{|dz|^{2}}{Im(z)^{2}}.

Este es un segundo punto sumamente importante, la acción del grupo deja invariante la métrica, esto es lo mismo que decir que el grupo SL(2,\mathbb{R}) actúa sobre \mathbb{H} por isometrías.

Una última observación debe ser hecha, la acción del grupo es transitiva. Esto quiere decir que para todos z,w\in\mathbb{H} existe g\in SL(2,\mathbb{R}) tal que g(z)=w. Además, la matriz dada por

R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\-\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb{R})

actúa por rotación en ángulo \theta con centro en i (punto que mostraremos un próximo post).

Continuación demostración:

Para dos puntos cualesquiera z,w\in\mathbb{H} aplicamos una isometría (dada por la acción de grupo) que envíe z\rightarrow i. Luego la imagen de w por esta isometría es algún punto en el semi-plano. Aplicando una rotación R_{\theta} podemos enviar a w sobre el eje imaginario. De esta forma los puntos imágenes de z,w, luego de componer estas isometrías, pertenecen al eje imaginario y el segmento geodésico que los une pertenece completamente a tal eje. Un simple cálculo muestra que este grupo envía el eje imaginario a rectas verticales o a semicircunferencias que cortan perpendicularmente al eje real. Finalmente las isometrías satisfacen que las geodésicas son enviadas en geodésicas, lo que implica el resultado.

\blacksquare

La Proyección Estereográfica

de

La proyección estereográfica representa una aplicación continua definida desde la esfera de Riemann hacia el plano (ya sea \mathbb{R}^{2} o \mathbb{C}). Sus aplicaciones son numerosas, y van desde nociones topológicas (como la compactificación de un conjunto) hasta nociones de geometría diferencial o compleja.

Idea de la construcción: Como en la figura adjunta, trazaremos una recta desde el polo norte de la esfera unitaria hasta el plano complejo. Esta recta intersecta a la esfera en un punto distinto al polo, y además al plano. Esta identificación entre puntos de intersección es la biyección que buscamos establecer.

PS

Sea entonces N=(0,0,1) el polo norte, p=(X,Y,Z) un punto en la esfera \mathbb{S}^{2} y (x,y) el punto del plano \mathbb{R}^{2} determinado por la intersección de la recta que pasa por N y p con el plano. Si llamamos L a dicha recta y si escribimos (x,y,0) como el punto del plano inmerso en \mathbb{R}^{3}, nos queda

L=\{(0,0,1)+t((X,Y,Z)-(0,0,1)):t\in\mathbb{R}\}

de modo que debemos encontrar t tal que la tercera coordenada sea nula. Un punto típico de la recta L tiene la forma (tX,tY,t(Z-1)+1), de donde se concluye que t=\frac{1}{1-Z} es el parámetro buscado. Con esto, el punto del plano que representa la proyección es de la forma

\pi_{N}(p)=(\frac{X}{1-Z},\frac{Y}{1-Z})

Notar que todo punto de \mathbb{S}^{2}, salvo N, satisface que su tercera coordenada es distinta de 1, por lo que \pi_{N}(p) esta bien definida para todo p\in\mathbb{S}^{2}\setminus\{N\}.

Hemos definido entonces una aplicación \pi_{N}:\mathbb{S}^{2}\setminus\{N\}\rightarrow\mathbb{R}^{2}. Mostremos que es inyectiva, en efecto

\pi_{N}(X,Y,Z)=\pi_{N}(U,V,W)\Leftrightarrow \frac{X}{1-Z}=\frac{U}{1-W} y \frac{Y}{1-Z}=\frac{V}{1-W}

pero X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1 y U^{2}+V^{2}+W^{2}=1, lo que implica

\frac{1+Z}{1-Z}=\frac{1+W}{1-W}

con lo que al desarrollar nos queda Z=W lo que implica directamente X=U y Y=V.

Mostremos ahora que esta aplicación es sobreyectiva. En efecto, para un punto (x,y) en el plano, lo consideramos como (x,y,0) y escribimos la recta que lo une con N

L'=\{(0,0,1)+s((x,y,0)-(0,0,1)):s\in\mathbb{R}\}

de donde un punto de L' es de la forma (sx,sy,1-s). Un tal punto pertenece a la esfera si y sólo si (sx)^{2}+(sy)^{2}+(1-s)^{2}=1. Esto ocurre para s=0 (caso que no admitimos pues considerariamos el polo norte) o para s=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+1}, por lo que

p=(X,Y,Z)=(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}).

Mas aún, es claro que \pi^{-1}_{N}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{S}^{2} definida por

\pi^{-1}_{N}(x,y)=(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1})

es la inversa deseada.

Por último, debemos notar que sobre cada dominio, la función \pi_{N} y su inversa son continuas. Por lo tanto la proyeccion estereográfica es un homeomorfismo.
Debemos además recalcar algo demasiado importante. El infinito (del plano) esta representado por el polo norte de la esfera de Riemann.

 

Proposición: La proyección estereográfica mapea círculos (de la superficie de la esfera) en círculos (generalizados) del plano.

Por círculos generalizados nos referimos a círculos del plano o rectas.

Demostración:

Estudiemos primero la imagen de un círculo de la esfera vía la proyección. Un tal círculo es la intersección de un plano de la forma AX+BY+CZ+D=0 con \mathbb{S}^{2}. La imagen de los puntos (X,Y,Z) que satisfacen esta ecuación son de la forma (x,y) y deben satisfacer (de acuerdo a la fórmula de la preimagen de la proyección)

A\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}+B\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}+C\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+y^{2}+1}+D=0

lo cual reescribimos como

(C+D)(x^{2}+y^{2})+2Ax+2By-(C-D)=0 (\star)

Notemos que hay dos posibilidades, si C=-D entonces (\star) es de la forma Ax+By=C la cual representa ciertamente una recta en el plano. En este caso, la ecuación del plano original se transforma en AX+BY+C(Z-1)=0, y por lo tanto el plano pasa por el polo norte. Entonces

Círculos esféricos que contienen al polo norte son mapeados en rectas del plano \mathbb{R}^{2}

ps2

En cualquier otro caso, la ecuación (\star) representa una circunferencia del plano.

Círculos esféricos que no continen al polo norte son mapeados en círculos del plano \mathbb{R}^{2}

ps3

Y como la proyección es una biyección, si el plano tiene intersección no vacía con la esfera, entonces siempre obtendremos un círculo generalizado en el plano euclideano siendo la imagen de tal intersección no vacía.

Solo queda mostrar el recíproco, es decir, que todo círculo generalizado del plano euclideano es la imagen de una circunferencia en la esfera. Para esto, consideremos dos casos, el primero cuando tenemos una circunferencia del plano de la forma

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

Definimos entonces A,B,C,D tales que 2A=a, 2B=b, C+D=1 y D-C=c. Es fácil comprobar que el plano $AX+BY+CZ+D=0$ intersecta a la esfera y tal intersección tiene por imagen todo punto que satisface la ecuacion

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0.

En el caso en que contamos con una recta del plano de la forma ax+by+c=0 es suficiente considerar 2A=a, 2B=b, C=D=\frac{-c}{2}. Esto concluye la demostración.

\blacksquare

Observaciones: Un ejercicio interesante es estudiar la imagen de circunferencias en la esfera por medio de la proyección estereográfica al aplicar isometrías en la esfera. Por ejemplo, si rotamos la esfera manteniendo el eje Z fijo, entonces solo estamos considerando en el plano una rotación. Pero basta rotar la esfera de cualquier otra forma de modo que algunas rectas pasen a ser círculos y algunos círculos pasen a ser rectas. ¿Qué sucede si aplicamos otro tipo de isometrías, como las reflexiones?

 

Para concluir, sería super útil que ustedes comprobaran lo siguiente, si aplicamos la proyección estereográfica (bajo las mismas ideas) desde el polo sur (es decir, el punto S=(0,0,-1)) entonces obtenemos un homeomorfismo

\pi_{S}:\mathbb{S}^{2}\setminus\{S\}\rightarrow\mathbb{R}^{2}, (X,Y,Z)\mapsto(\frac{X}{1+Z},\frac{Y}{1+Z})

\pi^{-1}_{S}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{S}^{2}\setminus\{S\}, (x,y)\mapsto(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1},\frac{1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1})

y finalmente podemos considerar la aplicación (muy útil en los primeros ejemplos de variedades complejas)

\pi_{S}\circ\pi^{-1}_{N}:\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}\rightarrow\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}

(x,y)\mapsto(\frac{x}{x^{2}+y{2}},\frac{-y}{x^{2}+y^{2}})

Para tener una imagen mas clara, les dejamos este link de una parte del documental Dimensions

Nociones Básicas en Geometría Hiperbólica (Parte I)

de

I. Historia

Durante gran parte de nuestros estudios (enseñanza básica y media en general) nos enseñan numerosos teoremas relacionados con la geometría; el Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, entre otros; pero esa geometría siempre lleva un mismo nombre, hablamos de la geometría Euclideana. Y la razón es simple, es la primera, y en muchos casos, única geometría con la que podemos lidiar desde el momento en que nacemos hasta que morimos. Sin embargo, a lo largo de los años, muchos matemáticos han trabajado sobre diversos modelos de geometría, ya sea la hiperbólica, la esférica o la proyectiva. En estos textos nos centraremos principalmente en el estudio del primero de ellos, la geometría Hiperbólica.

¿De dónde proviene la necesidad de crear una nueva geometría?

Probablemente la respuesta más concreta y certera es la curiosidad del matemático. Euclídes postuló 5 leyes sobre la geometría Euclideana, estos son

  1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.
  2. Una recta finita (o segmento de recta) puede prolongarse continuamente y hacerse una recta infinita.
  3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Por un punto exterior a una rectam es posible trazar una única recta paralela a dicha recta.

Entonces lo natural sería preguntarse si existen modelos de geometría que no satisfagan algunas de estas leyes.
Por mucho tiempo se creyó que las cuatro primeras leyes implicaban el quinto postulado, pero eventualmente se cambió la manera de abordar el problema. Los matemáticos empezaron a trabajar en la negación de este resultado. ¡Y lo lograron!, Nikolai Lobachevsky (matemático del siglo XIX) encontró un modelo geométrico consistente que satisface las primeras cuatro leyes y no la quinta. Fue el nacimiento de la Geometría Hiperbólica.

II. Preliminares

Para comenzar a entender la geometría hiperbólica y las propiedades de ésta, debemos imperativamente entender lo que es una métrica Riemanniana.
En abstracto, si considero un subconjunto abierto X\subset\mathbb{R}^{n} del espacio euclideano, una métrica Riemanniana es una forma bilineal definida positiva de la forma TX\times TX\rightarrow\mathbb{R}, donde TX representa el espacio tangente de X.

Naturalmente la anterior definición puede sonar algo intimidante para los que no tienen conocimientos muy profundos en matemática, pero a modo de ejemplo consideremos un punto p\in X y una curva \gamma:(-a,a)\rightarrow X continua, diferenciable en una vecindad del origen (estamos suponiendo a>0 arbitrario), tal que \gamma(0)=p. Entonces \gamma'(0) es ciertamente un «vector» que vive en \mathbb{R}^{n}. Decimos en este sentido que \gamma'(0) es un elemento de T_{p}(X), el espacio tangente a X en p. Si consideramos una curva \delta de mismas características (salvo por su dominio que denotamos (-b,b) para b>0), entonces \delta'(0)\in T_{p}X y c(t)=\frac{1}{2}(\gamma(2t)+\delta(2t)) definida para t\in(-\min(\frac{a}{2},\frac{b}{2}),\min(\frac{a}{2},\frac{b}{2})) satisface c(0)=p y c'(0)=\gamma'(0)+\delta'(0). Naturalmente, si multiplico \gamma por un escalar, entonces su vector tangente será ponderado por ese mismo escalar.

Todo el parrafo anterior nos dice que hay una cierta estructura de espacio vectorial sobre nuestro espacio tangente en p. Pero claramente no hemos definido formalmente el espacio tangente, sin embargo estamos a un pequeño paso de hacerlo.

Hay muchas curvas que en el origen valen p, y cuyo vector tangente en el origen es el mismo. Naturalmente no queremos hacer distinciones en este caso. Decimos entonces que dos curvas \gamma y \delta, como antes, están relacionadas \gamma~\delta si \gamma y \delta están definidas en una vecindad del origen, en el cual son diferenciables, tales que en el origen valen p y su vector tangente en el origen es el mismo. No es difícil ver que esta es una relación de equivalencia.

Definimos entonces (de manera bastante abstracta)

T_{p}X=\{[\gamma]\}

donde, insistimos, \gamma es de la forma que describimos anteriormente, y [\gamma] representa la clase de equivalencia con la relación ~.


Observación: Esta es una manera bastante formal de ver el espacio tangente, pero si lo piensan profundamente (y naturalmente se deben convencer de ello) estamos considerando el espacio de todos los vectores tangente a p (y no hacemos distinción de cual curva provienen metiendo a todas las de su tipo en un mismo saco).

Hemos probado (no muy formalmente, pero en esencia) que


Proposición: El espacio T_{p}X es un espacio vectorial real. Más aún, su dimensión es la dimensión del espacio X.

En lo anterior hay que tener cuidado, X no es un espacio vectorial necesariamente, su dimensión se refiere al hecho de que es un abierto de \mathbb{R}^{n}, por lo que su dimensión es n.


Definición: El Fibrado Tangente, TX es el conjunto TX=\{(p,v):p\in X,v\in T_{p}X\}. Denotamos \pi:TX\rightarrow X la proyección natural.

Teniendo esto claro, podemos ver una métrica Riemanniana g como una forma bilineal definida positiva tal que en cada punto p\in X, se tiene un producto interno (dada por la forma bilineal) sobre el espacio tangente a X en p. Es decir, al tener producto interno, obtenemos una noción clara de distancia.


Ejemplo: Una métrica Riemanniana sobre \mathbb{R}^{2} es la estandar, la cual es de la forma g=<X,Y>=X_{1}Y_{1}+X_{2}Y_{2}, donde X=(X_{1},X_{2}) y Y=(Y_{1},Y_{2}) son elementos del fibrado tangente. Sobre el tangente podemos definir una norma (la cual inducirá la métrica), \|X\|^{2}=<X,X>. Más precisamente, si \gamma:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}^{2} para \gamma=(x(t),y(t)), entonces \|\gamma'(t)\|^{2}=x'(t)^{2}+y'(t)^{2}.

Ahora que conocemos como es la métrica en el espacio tangente, podemos definir una distancia en \mathbb{R}^{2}. La distancia entre dos puntos en el plano es el ínfimo de los largos de curvas que unen ambos puntos. Más precisamente, el largo de curva es

L(\gamma)=\int_{t}\|\gamma'(t)\|dt

con

d(p,q)=\inf_{\gamma\textmd{ que unen }p,q }L(\gamma)

Un simple cálculo muestra que bajo la métrica Riemanniana estandar sobre el espacio euclideo, se obtiene precisamente la métrica estandar (visto como espacio métrico).


Observaciones: Hay muchas cosas por hacer, ¿existen siempre curvas que minimizan distancias?, ¿por qué puedo pasar de una métrica definida a nivel local a algo a nivel global?. Pues bien, no es el objetivo de este post responder específicamente a cada pregunta, pero hay que confiar en lo que aquí se dice: tanto en la geometría Euclideana como en la Hiperbólica, estas preguntas (y muchas más que son naturales) tienen solución, y una buena respuesta, cuando nos reducimos a subconjuntos compactos de los espacios sobre los que se trabaja.